در سال گذشته با تعریف چند ضلعی‌های محدب آشنا شدید. تعریف چند ضلعی محدب را می‌توان بدین صورت هم آورد: «یک چند ضلعی محدب است؛ اگر هر پاره‌خطی که دو نقطۀ دلخواه درون آن چند ضلعی را به هم وصل می‌کند، به طور کامل درون آن قرار بگیرد.» ضلعی که محدب نباشد، مقعر است. آیا تشخیص‌های سه دانش‌آموز در مورد محدب و مقعر بودن چند ضلعی‌های زیر و دلایلی که ارائه کرده‌اند، با توجه به تعریف بالا درست است؟ پاسخ خود را توضیح دهید.

۱- آیا اثبات مسئله زیر معتبر است؟ برای پاسخ خود دلیل بیاورید. مسئله: در هر مثلث، اندازه زاویۀ خارجی با مجموع اندازه‌های دو زاویۀ داخلی غیرمجاور با آن برابر است. اثبات: مثلث متساوی الاضلاع $ABC$ را در نظر می‌گیریم. می‌دانیم که مجموع زوایای داخلی هر مثلث $180^{\circ}$ است و زوایای $A$ و $B$ و $C$ هر کدام $60^{\circ}$ است: بنابراین $\hat{A_1} + \hat{A_2} = 180^{\circ} \rightarrow \hat{A_2} = 180^{\circ} - \hat{A_1} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ $\hat{B} + \hat{C} = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ} \Rightarrow \hat{A_2} = \hat{B} + \hat{C}$ [شکل: مثلث ABC که یک زاویه خارجی در رأس A تشکیل شده و زاویه داخلی A1 و خارجی A2 نامگذاری شده‌اند]