برای حل این معادله: \[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 + 4\left(x + \frac{1}{x}\right) + 4 = 0 \] ابتدا یک متغیر جایگزین تعریف کنید. فرض کنیم: \[ y = x + \frac{1}{x} \] در نتیجه، معادله به شکل زیر تبدیل می‌شود: \[ y^2 + 4y + 4 = 0 \] این یک معادله درجه دوم است که می‌توانیم با استفاده از فرمول کلی یا روش تجزیه آن را حل کنیم: \[ (y + 2)^2 = 0 \] این معادله نشان می‌دهد که: \[ y + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -2 \] حال، به مقدار اصلی برگردید: \[ x + \frac{1}{x} = -2 \] این معادله را به این صورت درآورید: \[ x^2 + 2x + 1 = 0 \] این معادله قابل تجزیه به صورت زیر است: \[ (x + 1)^2 = 0 \] در نتیجه: \[ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \] پاسخ مسئله \( x = -1 \) است.