برای حل این سوال، دنبالهای از کسرها به شکل \( A = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{100} - \frac{1}{101}\right) \) داریم.
این دنباله از نوع تلسکوپی است. در دنبالههای تلسکوپی، یک تعدادی از اجزا در هر جفت با اجزای مثالی دیگر در کل مجموع حذف یا جبران میشوند.
حالا به سری نگاه کنید:
\[
A = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{100} - \frac{1}{101}\right)
\]
در این دنباله، میبینیم که خیلی از کسرها حذف میشوند و تنها دو جملۀ اول و آخر باقی میمانند.
تحت این شرایط، نتیجهگیری میکنیم:
اولین جمله \( \frac{1}{2} \) و آخرین جمله \( -\frac{1}{101} \) است. بنابراین:
\[
A = \frac{1}{2} - \frac{1}{101}
\]
برای محاسبه، کسرها را با مخرج مشترک 101 مینویسیم:
\[
A = \frac{50.5}{101} - \frac{1}{101} = \frac{50.5 - 1}{101} = \frac{49.5}{101}
\]
بنابراین، پاسخ نهایی:
\[
A = \frac{99}{202}
\]
