1. برای تشخیص مثلث قائم‌الزاویه، از رابطه فیثاغورس استفاده می‌کنیم: مثلث اول: ۳۶، ۴۵، ۲۷ \[ 27^2 + 36^2 = 729 + 1296 = 2025 \] \[ 45^2 = 2025 \] پس این مثلث قائم‌الزاویه است. 2. محاسبه مقدار \( x \): مثلث قائم‌الزاویه داریم و از فیثاغورس استفاده می‌کنیم: \[ 3^2 + \sqrt{x}^2 = \sqrt{120}^2 \] \[ 9 + x = 120 \] \[ x = 111 \] 3. **نشان دادن اینکه نقطه روی نیم‌ساز زاویه از دو ضلع زاویه به یک فاصله است:** با استفاده از خاصیت نیم‌ساز، هر نقطه روی نیم‌ساز مطابق با فاصله‌ای مساوی از دو ضلع زاویه قرار دارد که از تعاریف هندسی است. 4. **اثبات مثلث متساوی‌الساقین:** در چهارضلعی \( ABCD \) با نقطه \( P \) وسط ضلع \( AD \)، مثلث \( PBC \) متساوی‌الساقین است. چون \( P \) وسط \( AD \) است و \( AD \) و \( BC \) برابر و موازی‌اند، پس \( AP = PD \) و زاویه‌ها نسبت به خطوط موازی برابر می‌شوند. 5. **چرا \( AB = CD \):** نقطه \( O \) مرکز دایره است و \( AB \) و \( CD \) وترهای دایره‌ای هستند که از یک مرکز می‌گذرند. بر اساس تعریف وترهای هم‌فاصله از مرکز دایره، برابرند.