1. برای تشخیص مثلث قائمالزاویه، از رابطه فیثاغورس استفاده میکنیم:
مثلث اول: ۳۶، ۴۵، ۲۷
\[ 27^2 + 36^2 = 729 + 1296 = 2025 \]
\[ 45^2 = 2025 \]
پس این مثلث قائمالزاویه است.
2. محاسبه مقدار \( x \):
مثلث قائمالزاویه داریم و از فیثاغورس استفاده میکنیم:
\[ 3^2 + \sqrt{x}^2 = \sqrt{120}^2 \]
\[ 9 + x = 120 \]
\[ x = 111 \]
3. **نشان دادن اینکه نقطه روی نیمساز زاویه از دو ضلع زاویه به یک فاصله است:**
با استفاده از خاصیت نیمساز، هر نقطه روی نیمساز مطابق با فاصلهای مساوی از دو ضلع زاویه قرار دارد که از تعاریف هندسی است.
4. **اثبات مثلث متساویالساقین:**
در چهارضلعی \( ABCD \) با نقطه \( P \) وسط ضلع \( AD \)، مثلث \( PBC \) متساویالساقین است. چون \( P \) وسط \( AD \) است و \( AD \) و \( BC \) برابر و موازیاند، پس \( AP = PD \) و زاویهها نسبت به خطوط موازی برابر میشوند.
5. **چرا \( AB = CD \):**
نقطه \( O \) مرکز دایره است و \( AB \) و \( CD \) وترهای دایرهای هستند که از یک مرکز میگذرند. بر اساس تعریف وترهای همفاصله از مرکز دایره، برابرند.
