برای حل این سوال، ابتدا باید فرمول مقاوت الکتریکی \( R \) را در نظر بگیریم:
\[ R = \rho \times \frac{L}{A} \]
که در آن:
- \( R \) مقاومت الکتریکی است.
- \( \rho \) مقاومت ویژه ماده است.
- \( L \) طول سیم است.
- \( A \) سطح مقطع سیم است.
برای دو سیم \( A \) و \( B \) با طول و مقاومت یکسان، خواهیم داشت:
\[ \rho_A \times \frac{L}{A_A} = \rho_B \times \frac{L}{A_B} \]
با توجه به اینکه مقاومت ویژه و چگالی سیم \( A \) نصف سیم \( B \) است، بنابراین:
\[ \frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{1}{2} \]
\[ \frac{\text{چگالی}_A}{\text{چگالی}_B} = \frac{1}{2} \]
از رابطه فوق میتوانیم نتیجه بگیریم که نسبت سطح مقطعها به صورت زیر است:
\[ \frac{A_B}{A_A} = 2 \]
از آنجایی که:
\[ \text{جرم} = \text{چگالی} \times حجم = \text{چگالی} \times L \times A \]
نسبت جرم سیمها به صورت زیر حساب میشود:
\[ \frac{\text{جرم}_A}{\text{جرم}_B} = \frac{\text{چگالی}_A \times L \times A_A}{\text{چگالی}_B \times L \times A_B} = \frac{\frac{1}{2} \times A_A}{A_B} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
بنابراین، جرم سیم \( A \) برابر با یک چهارم جرم سیم \( B \) است.
جواب نهایی: جرم سیم \( A \) یک چهارم جرم سیم \( B \) است.
