برای حل سوال مربوط به ریاضی یازدهم باید مراحل زیر را انجام دهیم: **الف) طول AM** اگر \( M \) وسط \( BC \) باشد، ابتدا باید مختصات \( M \) را پیدا کنیم. با توجه به اینکه \( B(1, 4) \) و \( C(4, 7) \) هستند، می‌توان مختصات \( M \) را به صورت زیر محاسبه کرد: \[ M \left( \frac{1+4}{2}, \frac{4+7}{2} \right) = M \left( \frac{5}{2}, \frac{11}{2} \right) \] اکنون طول \( AM \) را می‌توان با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه محاسبه کرد: \[ AM = \sqrt{\left( \frac{5}{2} - 2 \right)^2 + \left( \frac{11}{2} - 1 \right)^2} \] \[ AM = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{9}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{82}{4}} = \sqrt{\frac{41}{2}} \] **ب) فاصله B از AC** فاصله نقطه‌ای مانند \( B \) از خط \( AC \) با استفاده از فرمول فاصله نقطه از خط محاسبه می‌شود. ابتدا باید معادله خط \( AC \) را بیابیم. \دو نقطه \( A(2, 1) \) و \( C(4, 7) \) را داریم، بنابراین شیب خط \( AC \) برابر است با: \[ m = \frac{7-1}{4-2} = 3 \] معادله خط به فرم \( y = mx + b \) است و برای یافتن \( b \) از نقطه \( A(2, 1) \) استفاده می‌کنیم: \[ 1 = 3(2) + b \implies b = -5 \] بنابراین معادله خط \( AC \) به صورت زیر است: \[ y = 3x - 5 \] اکنون فاصله نقطه \( B(1, 4) \) از خط \( AC \) به کمک فرمول فاصله نقطه از خط \( ax + by + c = 0 \) که در اینجا \( 3x - y - 5 = 0 \) است محاسبه می‌شود: \[ d = \frac{|3(1) - 4 - 5|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|3 - 4 - 5|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{|-6|}{\sqrt{10}} = \frac{6}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{5} \] این پاسخ‌ها بایستی به دانش‌آموز کمک کند تا سوال را حل کند.