برای حل دستگاه معادلات زیر:
\[
\begin{cases}
2(x - y) + 3 = 4 \3x - 2(2x - y) = 7
\end{cases}
\]
مرحله اول: معادله اول را حل میکنیم.
\[
2(x - y) + 3 = 4
\]
ابتدا 3 را از دو طرف معادله کم میکنیم:
\[
2(x - y) = 4 - 3
\]
\[
2(x - y) = 1
\]
سپس هر طرف معادله را بر 2 تقسیم میکنیم:
\[
x - y = \frac{1}{2}
\]
از اینجا میتوانیم \(y\) را به صورت زیر بیان کنیم:
\[
y = x - \frac{1}{2} \quad \text{(معادله 1)}
\]
مرحله دوم: حالا به سراغ معادله دوم میرویم.
\[
3x - 2(2x - y) = 7
\]
نخست عبارت داخل پرانتز را باز میکنیم:
\[
3x - 4x + 2y = 7
\]
که به شکل زیر ساده میشود:
\[
-x + 2y = 7
\]
اکنون میتوانیم \(2y\) را به دست آوریم:
\[
2y = x + 7
\]
و در نتیجه:
\[
y = \frac{x + 7}{2} \quad \text{(معادله 2)}
\]
مرحله سوم: حالا هر دو معادله (معادله 1 و معادله 2) را داریم:
1. \(y = x - \frac{1}{2}\)
2. \(y = \frac{x + 7}{2}\)
حال that دو معادله را برابر هم قرار میدهیم:
\[
x - \frac{1}{2} = \frac{x + 7}{2}
\]
برای حل این معادله، ابتدا دو طرف را در 2 ضرب میکنیم تا از کسرها راحت شویم:
\[
2(x - \frac{1}{2}) = x + 7
\]
\[
2x - 1 = x + 7
\]
حالا \(x\) را از دو طرف جدا میکنیم:
\[
2x - x = 7 + 1
\]
\[
x = 8
\]
حالا که \(x = 8\) را به دست آوردیم، میتوانیم مقدار \(y\) را پیدا کنیم. از معادله 1 استفاده میکنیم:
\[
y = 8 - \frac{1}{2}
\]
\[
y = 8 - 0.5 = 7.5
\]
بنابراین، پاسخ نهایی این دستگاه معادلات به صورت زیر است:
\[
\begin{cases}
x = 8 \y = 7.5
\end{cases}
\]
