برای بررسی برابری توابع \( f(x) = \sqrt{x^r(x-5)} \) و \( g(x) = |x|\sqrt{x-5} \)، به موارد زیر توجه کنید:
1. **دامنه توابع**:
- برای تابع \( f(x) \)، باید عبارت زیر رادیکال غیر منفی باشد:
\[ x^r(x-5) \geq 0 \]
اگر \( r \) زوج باشد، \( x^r \geq 0 \) و برای برابری کل عبارت، \( x-5 \geq 0 \) نیاز است، یعنی \( x \geq 5 \). اگر \( r \) فرد باشد، دامنه بیشتر میشود و نیاز به تحلیل جداگانه است.
- برای تابع \( g(x) \)، باید \( x-5 \geq 0 \) باشد، یعنی \( x \geq 5 \). زیرا در غیر این صورت مقدار زیر رادیکال منفی میشود و مقدار حقیقی نخواهد داشت.
2. **مقایسه توابع**:
- برای \( x \geq 5 \)، هر دو تابع تعریف شدهاند و میتوان مقدارشان را مقایسه کرد:
- \( f(x) = \sqrt{x^r(x-5)} \)
- \( g(x) = |x|\sqrt{x-5} \)
در این شرایط، دو تابع برابر خواهند بود اگر \( x^r = |x| \) باشد. این به معنای \( r = 1 \) است.
3. **نتیجهگیری**:
- اگر \( r = 1 \)، توابع در محدوده \( x \geq 5 \) برابرند.
- اگر \( r \neq 1 \)، توابع لزوماً برابر نیستند.
بنابراین، برای برابری توابع \( f(x) \) و \( g(x) \)، پارامتر \( r \) باید برابر با ۱ باشد و شرایط دامنه برقرار باشد.
