برای حل این مسئله، دو تابع \( f(x) = ax + b \) و \( g(x) \) به صورت زیر داده شده است:
\[
g(x) = \begin{cases}
\frac{fx^2 - 1}{gx + 1} & x \neq c \d & x = c
\end{cases}
\]
لازم است مقادیر \( a \)، \( b \)، \( c \) و \( d \) را پیدا کنیم.
از پیوستگی تابع \( g(x) \) در نقطه \( x = c \)، باید داشته باشیم:
\[
\lim_{x \to c} g(x) = g(c)
\]
پس:
\[
\lim_{x \to c} \frac{fx^2 - 1}{gx + 1} = d
\]
برای محاسبه حد چپ، فرم \( 0/0 \) باید ایجاد شود و باید از قاعده همارزی یا قاعده لهوپیتال استفاده کنیم. به شرطی که در \( x = c \) صورت و مخرج صفر شوند:
فرض کنیم \( fx^2 - 1 = 0 \) و \( gx + 1 = 0 \) باشد به عبارت دیگر:
\( fc^2 = 1 \) و \( gc = -1 \)
از این معادلات، \( f \) و \( g \) به مقادیر بر اساس \( c \) وابسته میشوند. با بررسی و سادهسازی بیشتر میتوانیم \((f \cdot g\), \( a \), \( b \)) و \( d \) را پیدا کنیم.
در صورتی که تنها نیاز به مقدار \( f \) و \( g \) است، با جایگذاری به سادگی میتوان به \( f = \frac{1}{c^2} \) و \( g = -\frac{1}{c} \) دست یافت و سپس مقدار \( d \) را به صورت یک ضابطه بدست آورد. لیکن برای تعیین دقیق مقادیر \( a \) و \( b \) به اطلاعات بیشتری یا حالت خاصی نیاز داریم.
