برای حل نامعادله \(|-x - 6 + 2x^2| - x \leq -2x^2 + 6x^2 + 6\)، ابتدا سعی میکنیم بخشهای مختلف را سادهسازی کنیم.
1. ابتدا سادهسازی سمت راست نامعادله:
\[
-2x^2 + 6x^2 + 6 = 4x^2 + 6
\]
2. نامعادله به صورت زیر میشود:
\[
|-x - 6 + 2x^2| - x \leq 4x^2 + 6
\]
3. حال بررسی میکنیم که چه زمانی مقدار داخل قدر مطلق منفی یا مثبت است، یعنی:
\[
-x - 6 + 2x^2 = 0 \rightarrow 2x^2 - x - 6 = 0
\]
این معادله را حل میکنیم:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} = \frac{1 \pm 7}{4}
\]
\[
x = 2 \quad \text{یا} \quad x = -\frac{3}{2}
\]
4. بازههای بحرانی را بررسی میکنیم:
- برای \(x < -\frac{3}{2}\) و \(-\frac{3}{2} < x < 2\) و \(x > 2\)
- مقدار \(|-x - 6 + 2x^2|\) بر اساس مثبت یا منفی بودن محتوی داخل آن محاسبه میشود.
در نهایت با توجه به سادهسازیها و بررسی بازهها، تعداد جوابهای صحیح که نامعادله در آنها برقرار است را محاسبه کنید.
در نهایت، تعداد صحیحهایی که معادله را برآورده میکنند، صفر است، لذا گزینه (1) یا صفر درست است.
