برای حل نابرابری \((x^2(x+1) \leq 0)\)، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
1. **تحلیل علامت هر عبارت:**
\(x^2\) همیشه غیر منفی است، زیرا مجذور هر عددی مثبت یا صفر است. بنابراین، \(x^2 \geq 0\).
2. **تحلیل عبارت کل:**
\(x^2(x+1) \leq 0\) زمانی برقرار است که یکی از عوامل صفر شود و دیگری عددی غیر صفر داشته باشد که حاصلضرب کلی را صفر یا منفی نگه دارد.
3. **محاسبه نقاط بحرانی:**
- چون \(x^2\) صفر نمیشود به جز زمانی که \(x=0\)، تنها نقطه بحرانی برای صفر شدن عبارت \(x+1\) است. بنابراین \(x+1=0 \Rightarrow x=-1\).
4. **تعیین بازهها:**
- بررسی بازههای مختلف بر اساس نقاط بحرانی \(x=-1\) و علامت دهی در این بازهها.
- برای \(x < -1\)، عبارت متغیر \(x+1\) منفی و \(x^2\) مثبت است، بنابراین مثبت میشود و نابرابری برقرار نیست.
- برای \(-1 \leq x < 0\)، \(x+1\) زاویه مثبت میگیرد و \(x^2\) نیز مثبت است، بنابراین نابرابری برقرار نیست.
- همین نابرابری \((x=0)\) معادله \(0*1\) برقرار میباشد.
5. **نتیجهگیری نابرابری:**
برای اینکه \(x^2(x+1) \leq 0\) برقرار باشد، بازهی جواب به صورت \([-1, 0]\) است به شرط اینکه x بصورت غیر صفر باشد.
وترتیب \([-1, 0]\) بازهی جواب است.
پس جواب سوال:
\([-1, 0]\).
