جواب سوال ؟

برای یافتن محدوده \( k \)، باید مختصات نقطه‌ی تقاطع دو خط را پیدا کنیم و سپس بررسی کنیم که آیا این مختصات در ناحیه دوم قرار دارد یا نه. دو معادله داریم: 1. \( 2x - y + k = 1 \) 2. \( x + 5y = 2 + k \) ابتدا از معادله دوم، \( x \) را بر حسب \( y \) به دست می‌آوریم: \[ x = 2 + k - 5y \] این مقدار \( x \) را در معادله اول جایگذاری می‌کنیم: \[ 2(2 + k - 5y) - y + k = 1 \] \[ 4 + 2k - 10y - y + k = 1 \] \[ 3k - 11y = -3 \] حالا از این معادله \( y \) را به دست می‌آوریم: \[ y = \frac{3k + 3}{11} = \frac{3(k + 1)}{11} \] حالا \( x \) را از \( x = 2 + k - 5y \) پیدا می‌کنیم: \[ x = 2 + k - 5 \left(\frac{3(k + 1)}{11}\right) \] \[ x = 2 + k - \frac{15(k + 1)}{11} \] بنابراین: \[ x = 2 + k - \frac{15k + 15}{11} \] \[ x = \frac{22 + 11k - 15k - 15}{11} \] \[ x = \frac{7 - 4k}{11} \] ناحیه دوم با شرط \( x<0 \) و \( y>0 \) تعریف می‌شود. بنابراین: برای \( x < 0 \): \[ \frac{7 - 4k}{11} < 0 \] \[ 7 - 4k < 0 \] \[ 4k > 7 \] \[ k > \frac{7}{4} \] برای \( y > 0 \): \[ \frac{3(k + 1)}{11} > 0 \] \[ k + 1 > 0 \] \[ k > -1 \] بنابراین محدوده‌ی \( k \) که در ناحیه‌ی دوم قرار می‌گیرد: \[ \frac{7}{4} < k \] بنابراین گزینه صحیح گزینه (۳) است.