### سوال اول:
\[
\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x-5} = -1
\]
#### پاسخ:
برای حل این معادله، ابتدا کسرها را به مخرج مشترک تبدیل می‌کنیم که \( (x-2)(x-5) \) است.
\[
\frac{x(x-5) + 3(x-2)}{(x-2)(x-5)} = -1
\]
ساده‌سازی صورت معادله:
\[
x^2 - 5x + 3x - 6 = -1 \times (x-2)(x-5)
\]
\[
x^2 - 2x - 6 = -(x^2 - 7x + 10)
\]
گسترش مخرج:
\[
x^2 - 2x - 6 = -x^2 + 7x - 10
\]
انتقال جملات:
\[
2x^2 - 9x + 4 = 0
\]
حل معادله درجه دوم:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
در اینجا:
\(a = 2\)، \(b = -9\)، و \(c = 4\)
محاسبه دلتای معادله:
\[
b^2 - 4ac = 81 - 32 = 49
\]
بنابراین:
\[
x = \frac{9 \pm 7}{4}
\]
دو ریشه:
\[
x_1 = \frac{16}{4} = 4
\]
\[
x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]
باید اطمینان حاصل کنیم که این مقادیر مخرجات را صفر نمی‌کنند.
### سوال دوم:
\[
x + 2\sqrt{x} = 8
\]
#### پاسخ:
این معادله را به صورت زیر تغییر می‌دهیم:
فرض کنیم \( y = \sqrt{x} \)، بنابراین \( x = y^2 \).
معادله به شکل زیر تغییر می‌کند:
\[
y^2 + 2y = 8
\]
انتقال جملات:
\[
y^2 + 2y - 8 = 0
\]
حل معادله درجه دوم:
\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
در اینجا:
\(a = 1\)، \(b = 2\)، و \(c = -8\)
محاسبه دلتای معادله:
\[
b^2 - 4ac = 4 + 32 = 36
\]
بنابراین:
\[
y = \frac{-2 \pm 6}{2}
\]
دو ریشه:
\[
y_1 = 2 \quad \text{و} \quad y_2 = -4
\]
فقط \( y_1 = 2 \) معتبر است زیرا \( y \) باید غیر منفی باشد.
پس:
\[
\sqrt{x} = 2 \rightarrow x = 4
\]
پاسخ نهایی برای معادله دوم:
\[ x = 4 \]
