برای ساده کردن عبارت \(\frac{x^{3} + 8}{(x - 2)(x^{3} - 2x^{2} + 4)}\)، ابتدا به یاد داریم که \(x^{3} + 8\) یک فرمول دوتایی مربع (مجموع دو مکعب) است و میتوان آن را به شکل زیر نوشت:
\[
x^{3} + 8 = (x + 2)(x^{2} - 2x + 4)
\]
حالا ما میخواهیم عبارت را ساده کنیم، بنابراین آن را به صورت زیر مینویسیم:
\[
\frac{(x + 2)(x^{2} - 2x + 4)}{(x - 2)(x^{3} - 2x^{2} + 4)}
\]
حالا بیایید عبارت زیر را بررسی کنیم:
\[
x^{3} - 2x^{2} + 4
\]
بهتر است برای سادهتر کردن بگوییم آیا این عبارات میتوانند ضرایب مشترکی با \(x^{2} - 2x + 4\) داشته باشند یا خیر. ما برای ساده کردن \(x^{3} - 2x^{2} + 4\) میتوانیم از تقسیم Synthetic یا تقسیم عادی استفاده کنیم.
با تقسیم \(x^{3} - 2x^{2} + 4\) بر \(x - 2\) (به عنوان یک آزمایش)، بررسی میکنیم که آیا نتیجه صفر میشود یا خیر.
1. اگر \(x=2\) را در \(x^{3} - 2x^{2} + 4\) قرار دهیم:
\[
2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 4 = 8 - 8 + 4 = 4 \quad (\text{پس مثبت است.})
\]
بنابراین \(x - 2\) ریشه این چندجملهای نیست، اما میتوانیم بررسی کنیم آیا قابل تفکیک است یا خیر. از آنجا که هیچ رابطه خطی واضحی نیست، برای سادگی فرض میکنیم که:
\[
x^{3} - 2x^{2} + 4
\]
را به سادگی نمیتوان به شکل یک ضربکردن نوشت.
در نهایت میتوانیم نتیجه سادهشده را نوشت:
\[
\frac{(x + 2)(x^{2} - 2x + 4)}{(x - 2)(x^{3} - 2x^{2} + 4)}
\]
این عبارت را نمیتوان بیشتر ساده کرد زیرا عاملهای هردو صورت مشترکی ندارند.
پس نتیجه پایانی:
\[
\frac{(x + 2)(x^{2} - 2x + 4)}{(x - 2)(x^{3} - 2x^{2} + 4)}
\]
باقی میماند.
