برای حل این عبارت، ابتدا جذرهای موجود را به صورت ضربی ساده میکنیم:
صورت کسر:
- \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \)
- \( 5\sqrt{27} = 5\sqrt{9 \times 3} = 15\sqrt{3} \)
- \( 4\sqrt{8} = 4\sqrt{4 \times 2} = 8\sqrt{2} \)
حال عبارت صورت را داریم:
\[ 5\sqrt{2} + 15\sqrt{3} - 8\sqrt{2} \]
این را میتوان به شکل زیر ساده کرد:
\[ (5\sqrt{2} - 8\sqrt{2}) + 15\sqrt{3} = -3\sqrt{2} + 15\sqrt{3} \]
مخرج کسر:
- \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \)
- پس عبارت مخرج به شکل:
\[ 5\sqrt{3} - \sqrt{2} \]
اکنون کسر به شکل زیر است:
\[ \frac{-3\sqrt{2} + 15\sqrt{3}}{5\sqrt{3} - \sqrt{2}} \]
برای ساده کردن کسر، میتوانیم صورت و مخرج را در مزدوج مخرج ضرب کنیم:
مزدوج مخرج \( 5\sqrt{3} + \sqrt{2} \) است. کسر را در آن ضرب میکنیم:
صورت:
\[ (-3\sqrt{2} + 15\sqrt{3})(5\sqrt{3} + \sqrt{2}) \]
مخرج:
\[ (5\sqrt{3} - \sqrt{2})(5\sqrt{3} + \sqrt{2}) = (5\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 75 - 2 = 73 \]
اکنون صورت را حساب میکنیم:
\[
(-3\sqrt{2})(5\sqrt{3}) + (-3\sqrt{2})(\sqrt{2}) + (15\sqrt{3})(5\sqrt{3}) + (15\sqrt{3})(\sqrt{2})
\]
\[
= -15\sqrt{6} - 6 + 225 + 15\sqrt{6}
\]
ترکیب:
\[
= 219
\]
بنابراین جواب نهایی:
\[ \frac{219}{73} = 3 \]
پس جواب نهایی این کسر برابر 3 است.
