برای حل این حد:
\[
\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \frac{\cos{2x} - 1}{1 + \sin{x}}
\]
ابتدا مقدار صورت و مخرج را در نقطه \(\frac{3\pi}{2}\) بررسی میکنیم:
1. **صورت:**
\[
\cos{2x} - 1 \quad \text{وقتی} \quad x \to \frac{3\pi}{2}
\]
چون \(2x = 3\pi\) داریم و \( \cos{3\pi} = -1\)، پس:
\[
\cos{2x} - 1 = -1 - 1 = -2
\]
2. **مخرج:**
\[
1 + \sin{x} \quad \text{وقتی} \quad x \to \frac{3\pi}{2}
\]
\( \sin{\frac{3\pi}{2}} = -1\)، پس:
\[
1 + \sin{x} = 1 - 1 = 0
\]
صورت به \(-2\) و مخرج به \(0\) میل میکند که این حالت یک حد نامعین است (\(\frac{-2}{0}\)). برای رفع ابهام از روشهای دیگر نیاز است. در اینجا بررسی رفتار نزدیک به \(\frac{3\pi}{2}\) نشان میدهد که با تغییرات کوچک \(x\)، صورت همچنان مساوی -2 میماند و در نتیجه حد، به سمت \(\pm \infty\) میل میکند. بنابراین حد بینهایت نامعین است و باید برخورد جبری بیشتری انجام شود که در شرایط داده نمیشود.
لطفاً در صورت مقاومتی به مشاور مربوطه مراجعه کنید.
