۱۰) در شکل مقابل $O$ مرکز دایره و $AD$ و $BC$ مماس بر دایره رسم شده‌اند. نشان دهید $AD = BC$. [شکل: دایره به مرکز $O$، نقاط $A$ و $D$ روی محیط دایره در یک سمت و نقاط $C$ و $B$ روی محیط دایره در سمت دیگر که $AD$ و $BC$ خطوط مماس هستند.]

۱۱) الف) می‌دانیم در چند ضلعی محدب با قراردادن هر دو نقطه داخل شکل و وصل کردن آن‌ها به هم پاره‌خط ایجاد شده داخل شکل قرار می‌گیرد. محمد با قرار دادن دو نقطه $B$ و $A$ در شکل زیر نتیجه گرفت شکل محدب است. آیا استدلال او صحیح است؟ چرا؟ [شکل: یک چندضلعی مقعر (غیرمحدب) که دو نقطه $A$ و $B$ در بخش فرورفته آن قرار دارند و پاره‌خط $AB$ بخشی از آن خارج از شکل است.] ب) نشان دهید هر نقطه روی نیمساز یک زاویه از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است. [شکل: زاویه با رأس $M$ و نیمساز آن که نقطه $P$ روی نیمساز قرار دارد و فاصله آن تا دو ضلع زاویه در نقاط $C$ و $D$ با خط‌چین نمایش داده شده است.]