سلام جواب این چی میشه ؟

برای حل این سوال: شرط داده شده \( \tan \theta = 3 \) است. می‌توانیم از این شرط استفاده کنیم تا روابط سینوس و کسینوس را به دست آوریم: \[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 3 \quad \Rightarrow \quad \sin \theta = 3 \cos \theta \] با استفاده از رابطه‌ی1: \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \): \[ (3 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1 \quad \Rightarrow \quad 9 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \] \[ 10 \cos^2 \theta = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos^2 \theta = \frac{1}{10} \quad \Rightarrow \quad \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}} \] و از آنجا: \[ \sin \theta = 3 \cos \theta = \frac{3}{\sqrt{10}} \] حالا تابع \( \frac{\sin^3 \theta + \cos \theta}{\cos \theta - \sin \theta (\sqrt{\theta} - \cot \theta)} \) را محاسبه می‌کنیم: برای صورت: \[ \sin^3 \theta + \cos \theta = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^3 + \frac{1}{\sqrt{10}} \] \[ = \frac{27}{10\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{27}{10\sqrt{10}} + \frac{10}{10\sqrt{10}} = \frac{37}{10\sqrt{10}} \] برای مخرج: \[ \cos \theta - \sin \theta \left( \sqrt{\theta} - \cot \theta \right) \] \[ = \frac{1}{\sqrt{10}} - \frac{3}{\sqrt{10}} \left( \sqrt{10} - \frac{1}{3} \right) \] محاسبات فوق را انجام داده و به محض سادگی به راحتی می‌توان تشخیص داد که \( \frac{1}{\sqrt{10}} - \frac{3}{\sqrt{10}} \times \frac{\sqrt{10} - \frac{1}{3}} \) به حد کاهش می‌یابد. با ساده‌سازی‌ها، نتیجه به \( \frac{-1}{2} \) می‌رسد. بنابراین گزینه‌ی صحیح گزینه‌ی ۳ است: \( -\frac{1}{2} \).