مثال 9 : در معادله $x^2 - 3ax + 2a^2 + 1 = 0$ مقدار $a$ را طوری تعیین کنید که معادله یک ریشه داشته باشد، سپس آن ریشه را بدست آورید.

مثال 10 : نشان دهید به ازای هر عدد حقیقی که به جای $m$ قرار گیرد، معادله $x^2 + 2mx + m^2 + 1 = 0$ جواب حقیقی ندارد.

مثال 11 : نشان دهید به ازای هر عدد حقیقی که به جای $m$ قرار گیرد، معادله $mx^2 + (2m + 1)x + m + 1 = 0$ دقیقا دو جواب متمایز و حقیقی دارد.

مثال 12 : طول اضلاع مثلث قائم الزاویه مقابل را بدست آورید. [شکل: مثلث قائم‌الزاویه با اضلاع $3x - 1$، $x + 3$ و $2x + 3$]