پاسخ کامل و گام‌به‌گام سوالات تصویر به شرح زیر است:
سوال ۱
متن سوال: عدد ۱۳۳ اول است یا مرکب، دلیل خود را کامل بنویسید.
پاسخ:
عدد ۱۳۳ مرکب است.
دلیل: جذر تقریبی ۱۳۳ تقریباً برابر ۱۱.۵ است (/sqrt{133} /approx 11.5). اعداد اول کوچک‌تر از ۱۱.۵ عبارت‌اند از: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱.
اگر ۱۳۳ را بر ۷ تقسیم کنیم، داریم:
چون عدد ۱۳۳ بر ۷ بخش‌پذیر است (و شمارنده‌هایی غیر از ۱ و خودش دارد)، پس مرکب می‌باشد.
سوال ۲
متن سوال: سه عدد بنویسید که غیر از ۳ و ۵ شمارنده دیگری نداشته باشد.
پاسخ:
اعداد مورد نظر باید تنها از ضرب توان‌های مختلف ۳ و ۵ به دست آیند (مانند 3^a /times 5^b). سه نمونه از این اعداد:
* * * 3 /times 5 /times 5 = /mathbf{75}
(اعداد دیگری مثل ۹۰ یا ۶۰ پاسخ صحیح نیستند چون شمارنده ۲ دارند؛ همچنین ۴۵، ۷۵، ۲۲۵ و... کاملاً درست هستند).
سوال ۳
متن سوال: تعداد عددهای اول کمتر از ۵۰، ۱۵ عدد است، تعداد عددهای مرکب کوچک‌تر از ۵۰ چندتاست؟ چرا؟
پاسخ:
اعداد طبیعی کوچک‌تر از ۵۰ شامل اعداد ۱ تا ۴۹ هستند که مجموعاً ۴۹ عدد می‌شوند.
می‌دانیم عدد ۱ نه اول است و نه مرکب.
برای به دست آوردن تعداد اعداد مرکب:
پاسخ: ۳۳ عدد مرکب وجود دارد.
سوال ۴
متن سوال: برای اینکه بفهمیم عدد ۱۰۷ اول است یا مرکب، چند تا تقسیم لازم است و بر چه اعدادی؟
پاسخ:
ابتدا جذر تقریبی ۱۰۷ را می‌گیریم: /sqrt{107} /approx 10.3
اعداد اول کوچک‌تر از جذر ۱۰۷ عبارت‌اند از: ۲، ۳، ۵، ۷.
* تعداد تقسیم‌ها: ۴ تقسیم
* بر چه اعدادی: بر اعداد اول ۲، ۳، ۵ و ۷
سوال ۵
متن سوال: عددهای ۱ تا ۹۰ را نوشته و غربال کرده‌ایم، با توجه به سوالات زیر پاسخ دهید:
* الف) اولین عددی که خط می‌خورد؟
* پاسخ: عدد ۱ (زیرا نه اول است و نه مرکب).
* ب) اولین مضرب ۷ که برای اولین بار خط می‌خورد؟
* پاسخ: 7^2 = 49 (مضرب‌های قبلی ۷ مثل ۱۴، ۲۱، ۲۸، ۳۵ و ۴۲ قبلاً با مضرب‌های ۲، ۳ و ۵ خط خورده‌اند).
* پ) عدد ۷۰ با مضرب کدام عدد خط می‌خورد؟
* پاسخ: با مضرب ۲ (چون زوج است و در گام حذف مضرب‌های ۲ خط می‌خورد).
* ت) تمام مضرب‌های ۵ که برای اول بار خط می‌خورند؟
* پاسخ: مضرب‌هایی از ۵ که قبلاً با ۲ و ۳ خط نخورده باشند و برابر یا بزرگ‌تر از 5^2=25 باشند:
* ۲۵ (5 /times 5)
* ۳۵ (5 /times 7)
* ۵۵ (5 /times 11)
* ۶۵ (5 /times 13)
* ۸۵ (5 /times 17)
سوال ۶
متن سوال: عددی کمتر از ۱۶۰ و بزرگ‌تر از ۱۳۰ می‌باشد، برای اینکه بفهمیم این عدد اول است یا خیر، حداکثر چند تقسیم انجام می‌دهیم؟
پاسخ:
برای بررسی اول بودن هر عددی در این فاصله (مثلاً تا ۱۶۰)، جذر بزرگ‌ترین عدد ممکن یعنی ۱۶۰ را محاسبه می‌کنیم:
اعداد اول کوچک‌تر از ۱۲.۶ عبارت‌اند از: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱.
پاسخ: حداکثر ۵ تقسیم باید انجام دهیم.
سوال ۷
متن سوال: مجموع دو عدد اول، ۳۳ شده است، آن دو عدد اول کدام‌اند؟
پاسخ:
چون مجموع دو عدد طبیعی برابر ۳۳ (یک عدد فرد) شده است، حتماً یکی از دو عدد باید زوج و دیگری فرد باشد.
تنها عدد اول زوج، ۲ است.
چون ۳۱ نیز یک عدد اول است، آن دو عدد عبارت‌اند از: ۲ و ۳۱.
اگر در مورد هر کدام از سوالات نیاز به توضیح بیشتری داری، در خدمتم!
