لطفا این سوال بهم بگیددممنون معرکه میدم

بفرما معرکه یادت نره☺️

تصویر شامل چند مسئله ریاضی (معمولاً پایه هفتم و هشتم) است. پاسخ تک‌تک آن‌ها به صورت دقیق و خلاصه به شرح زیر است: --- ### ۱. مسئله اول (دانش‌آموزان کلاس ۳۰ نفری) * **متن:** کلاسی ۳۰ نفر دانش‌آموز دارد. $/frac{2}{5}$ دانش‌آموزان فوتبال و $/frac{1}{3}$ والیبال بازی می‌کنند و بقیه تماشا می‌کنند. (راهبرد رسم شکل) * **الف) چه کسری از دانش‌آموزان تماشا می‌کنند؟** مجموع کسرهای بازی‌کننده: $$/frac{2}{5} + /frac{1}{3} = /frac{6}{15} + /frac{5}{15} = /frac{11}{15}$$ کسر تماشاگران: $$1 - /frac{11}{15} = /frac{4}{15}$$ * **ب) چند نفر از دانش‌آموزان فوتبال و چند نفر والیبال بازی می‌کنند؟** * فوتبال: $/frac{2}{5} /times 30 = 12$ نفر * والیبال: $/frac{1}{3} /times 30 = 10$ نفر --- ### ۲. مسئله دوم (سکه‌های ۱۰۰ و ۵۰ تومانی - الگو سازی) * **متن:** با سکه‌های ۱۰۰ و ۵۰ تومانی به چند حالت می‌توان ۴۰۰ تومان درست کرد؟ * **پاسخ:** (با نوشتن حالت‌های ممکن برای تعداد سکه ۱۰۰ تومانی): 1. ۴ تا سکه ۱۰۰ تومانی و ۰ تا ۵۰ تومانی 2. ۳ تا سکه ۱۰۰ تومانی و ۲ تا ۵۰ تومانی 3. ۲ تا سکه ۱۰۰ تومانی و ۴ تا ۵۰ تومانی 4. ۱ دانه سکه ۱۰۰ تومانی و ۶ تا ۵۰ تومانی 5. ۰ تا سکه ۱۰۰ تومانی و ۸ تا ۵۰ تومانی * **تعداد کل حالت‌ها:** ۵ حالت. --- ### ۳. مسئله سوم (دو عدد طبیعی با حاصل ضرب ۳۰) * **متن:** دو عدد طبیعی بنویسید که حاصل ضربشان ۳۰ و مجموع آن‌ها کمترین مقدار باشد. (الگوسازی) * **پاسخ:** زوج‌های ضربی ۳۰ عبارتند از: $(1, 30)، (2, 15)، (3, 10)، (5, 6)$. کمترین مجموع متعلق به زوجی است که اعداد به هم نزدیک‌ترند: **۵ و ۶** (مجموع = ۱۱). --- ### ۴. مسئله چهارم (ادامه الگوها و توضیح به زبان فارسی) * **الف) الگوی اول:** $1, 4, 9, 16, /dots$ * سه عدد بعدی: **۲۵، ۳۶، ۴۹** (مربعات اعداد طبیعی: $5^2, 6^2, 7^2$). * رابطه: هر عدد برابر است با مجذور (مربع) رتبه آن عدد. * **ب) الگوی دوم:** $1, /frac{1}{2}, /frac{1}{4}, /frac{1}{8}, /frac{1}{16}, /dots$ * سه عدد بعدی: **$/frac{1}{32}, /frac{1}{64}, /frac{1}{128}$** * رابطه: هر عدد نصف عدد قبلی است (یا مخرج‌ها توان‌های ۲ هستند). --- ### ۵. مسئله پنجم (حاصل عبارت کسری) * **متن:** حاصل عبارت مقابل را به دست آورید: $$1/frac{1}{2} /times 1/frac{1}{3} /times 1/frac{1}{4} /times /dots /times 1/frac{1}{199}$$ * **پاسخ:** ابتدا اعداد مخلوط را به کسر تبدیل می‌کنیم: $$/frac{3}{2} /times /frac{4}{3} /times /frac{5}{4} /times /dots /times /frac{200}{199}$$ صورت هر کسر با مخرج کسر بعدی ساده می‌شود؛ در نهایت فقط صورت اولین کسر و مخرج آخرین کسر باقی می‌ماند: $$/frac{200}{2} = 100$$ --- ### ۶. مسئله ششم (نمایشگاه اتومبیل و موتورسیکلت - حدس و آزمایش) * **متن:** در یک نمایشگاه ۱۵ دستگاه اتومبیل و موتورسیکلت قرار دارند. اگر تعداد کل چرخ‌های آن‌ها ۴۰ عدد باشد، چند دستگاه اتومبیل و چند دستگاه موتورسیکلت وجود دارد؟ * **پاسخ:** (با فرض اینکه همه ۱۵ وسیله موتورسیکلت باشند): $15 /times 2 = 30$ چرخ. اختلاف با کل چرخ‌ها: $40 - 30 = 10$ چرخ اضافه‌تر. چون هر ماشین ۲ چرخ بیشتر از موتور دارد: $10 /div 2 = 5$ ماشین. * **تعداد اتومبیل:** ۵ دستگاه * **تعداد موتورسیکلت:** ۱۰ دستگاه --- ### ۷. مسئله هفتم (خرید ۳ خودکار و پس گرفتن پول) * **متن:** برای خرید ۳ خودکار ۱۰۰۰ تومان دادیم و ۱۰۰ تومان پس گرفتیم. قیمت هر خودکار چند تومان است؟ * **پاسخ:** مبلغ پرداختی نهایی برای ۳ خودکار: $1000 - 100 = 900$ تومان. قیمت هر خودکار: $900 /div 3 = 300$ تومان. * راهبرد استفاده شده: **حذف حالت‌های نامطلوب / تشکیل معادله / حل مسئله ساده‌تر**. --- ### ۸. مسئله هشتم (کسر شکل رنگی) * **متن:** چه کسری از شکل مقابل رنگی است؟ * **پاسخ:** با توجه به تقسیم‌بندی‌های شکل (یا الگوی مربع‌های متداخل)، بخش کوچک رنگ‌شده برابر با **$/frac{1}{32}$** کل شکل است.