برای حل این سوال، ابتدا به بیان قضیه تالس میپردازیم و سپس اثبات آن با روش برهان خلف را توضیح میدهیم.
**بیان قضیه تالس:**
اگر خطی موازی با یکی از اضلاع مثلث، دو ضلع دیگر مثلث را قطع کند، قطعاتی که این خط بر روی آن دو ضلع ایجاد میکند، متناسب خواهند بود.
**اثبات قضیه تالس با روش برهان خلف:**
فرض کنید داریم مثلث \(ABC\) و خط \(DE\) که موازی با \(BC\) است و دو ضلع \(AB\) و \(AC\) را در \(D\) و \(E\) قطع میکند.
طبق قضیه تالس، باید داشته باشیم:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}
\]
**برهان خلف:**
فرض میکنیم نسبتها برابر نیستند:
\[
\frac{AD}{DB} \neq \frac{AE}{EC}
\]
حال، بدون از دست دادن کلیت، فرض کنید:
\[
\frac{AD}{DB} < \frac{AE}{EC}
\]
در این صورت میتوان نقطهای \(F\) روی \(AC\) پیدا کرد به گونهای که:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AF}{FC}
\]
پس، طبق قضیه تالس، با توجه به خط \(DE \parallel BC\), باید \(F = E\) باشد، اما با فرض خلف \(F\) نقطهی \(E\) نیست (چون فرض کردیم نسبتها برابر نباشند) و این تناقض است.
بنابراین فرض اولیه باید غلط باشد و باید:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}
\]
این اثبات را به روش برهان خلف میگویند. امیدوارم این توضیحات کمک کرده باشد تا مطلب را بهتر درک کنید.
