برای حل سوال، باید مجموعههای \(A\) و \(B\) در هر گزینه برابر باشند. دو مجموعه وقتی برابرند که شامل اعضای یکسان باشند.
**گزینه الف:**
مجموعهها به شکل زیر هستند:
\[ A = \{ r, 4a, a-b \} \]
\[ B = \{ r \} \]
برای اینکه \( A = B \)، باید تمام اعضای \( A \) برابر \( r \) باشند:
1. \( r = r \)
2. \( 4a = r \)
3. \( a-b = r \)
پس از معادلههای 2 و 3، داریم:
\[ 4a = a-b \]
با حل این معادله:
\[ 4a = a-b \]
\[ 3a = -b \]
\[ b = -3a \]
**گزینه ب:**
مجموعهها به شکل زیر هستند:
\[ A = \{ \frac{y}{a}, -y, x, -\frac{x}{5} \} \]
\[ B = \{ \frac{y}{12}, y, -\frac{x}{4} \} \]
برای اینکه \( A = B \)، مشابه الف باید موارد زیر برقرار باشد:
1. \(\frac{y}{a} = \frac{y}{12}\)
2. \(-y = y\)
3. \(x = -\frac{x}{4}\)
4. \(-\frac{x}{5} = \text{یکی از بالا}\)
از معادله 1:
\[ \frac{y}{a} = \frac{y}{12} \implies a = 12 \]
از معادله 2:
\( -y = y \implies y = 0 \)
از معادله 3:
\[ x = -\frac{x}{4} \implies x = 0 \]
بنابراین \( a = 12 \)، \( y = 0 \)، \( x = 0 \).
**گزینه ج:**
مجموعهها به شکل زیر هستند:
\[ A = \{ ((-r)^2), x, 2\sqrt{9}, -\frac{r}{a} \} \]
\[ B = \{ 6, y_1, -\sqrt{\frac{a}{b}}, r \} \]
این روابط باید مساوی باشند:
1. \(((-r)^2) = 6\)
2. \(x = y_1\)
3. \(2\sqrt{9} = -\sqrt{\frac{a}{b}}\)
4. \(-\frac{r}{a} = r\)
1. \(((-r)^2) = 6 \implies r^2 = 6 \implies r = \sqrt{6}\)
2. \(x = y_1 \implies y_1 = x\)
3. \(2\sqrt{9} = 6 = -\sqrt{\frac{a}{b}}\), اما برای صحیح بدست آوردن باید بگردید که \(a\) و \(b\) صحیح نباشد جز در شرایط خاص که در اینجا نمیتوانیم به جواب متناظر برسیم.
4. \(-\frac{r}{a} = r\)
**گزینه د:**
مجموعهها به شکل زیر هستند:
\[ A = \{ \frac{r}{x}, a, \frac{x}{\sqrt{5}}, -y \} \]
\[ B = \{ -\sqrt{a}, b, \frac{r}{x}, -\frac{1}{3} \} \]
برای اینکه برابر باشند:
1. \(\frac{r}{x} = -\sqrt{a}\)
2. \(a = b\)
3. \(\frac{x}{\sqrt{5}} = -\frac{1}{3}\)
4. \(-y = -\frac{1}{3}\)
از معادله 3 و 4:
\[ \frac{x}{\sqrt{5}} = -\frac{1}{3} \rightarrow x = -\frac{\sqrt{5}}{3} \]
و
\[ y = \frac{1}{3} \]
بنابراین مقادیر \(x\)، \(y\) و سایرها باید به شکل داده شده باشند.
در نهایت همه این موارد از تطابق مجموعهها بدست میآیند.
