برای حل این سوال، ابتدا باید یک سری اطلاعات را از دنباله حسابی یادآوری کنیم.
در یک دنباله حسابی:
- جمله نهم (a₉) به شکل زیر است:
\[
a_9 = a_1 + 8d
\]
- جمله عمومی (a_n) به شکل زیر است:
\[
a_n = a_1 + (n-1)d
\]
که در اینجا \( a_1 \) اولین جمله دنباله و \( d \) تفاوت دنباله است.
با توجه به اطلاعات داده شده:
1. \( a_9 = 8 \) به ما می‌گوید:
\[
a_1 + 8d = 8
\]
2. مجموع جملات هفتم و بیستم \( a_7 + a_{20} = 41 \):
\[
a_7 = a_1 + 6d
\]
\[
a_{20} = a_1 + 19d
\]
پس:
\[
a_7 + a_{20} = (a_1 + 6d) + (a_1 + 19d) = 2a_1 + 25d = 41
\]
حالا ما دو معادله داریم:
1. \( a_1 + 8d = 8 \) (معادله 1)
2. \( 2a_1 + 25d = 41 \) (معادله 2)
از معادله 1 می‌توانیم \( a_1 \) را به صورت زیر بیان کنیم:
\[
a_1 = 8 - 8d
\]
حالا این را در معادله 2 جایگذاری می‌کنیم:
\[
2(8 - 8d) + 25d = 41
\]
این معادله را حل می‌کنیم:
\[
16 - 16d + 25d = 41
\]
\[
16 + 9d = 41
\]
\[
9d = 41 - 16
\]
\[
9d = 25
\]
\[
d = \frac{25}{9}
\]
حالا که \( d \) را پیدا کردیم، می‌توانیم آن را در معادله برای \( a_1 \) جایگذاری کنیم:
\[
a_1 = 8 - 8 \left(\frac{25}{9}\right)
\]
\[
= 8 - \frac{200}{9}
\]
\[
= \frac{72}{9} - \frac{200}{9} = \frac{-128}{9}
\]
پس \( a_1 = \frac{-128}{9} \) و \( d = \frac{25}{9} \).
در نهایت، جمله عمومی دنباله را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:
\[
a_n = a_1 + (n-1)d = \frac{-128}{9} + \left(n-1\right) \frac{25}{9}
\]
\[
= \frac{-128 + 25(n-1)}{9} = \frac{-128 + 25n - 25}{9} = \frac{25n - 153}{9}
\]
پس جمله عمومی دنباله به صورت زیر است:
\[
a_n = \frac{25n - 153}{9}
\]
