برای حل این سوال، ابتدا باید اطلاعات داده شده را تحلیل کنیم:
داریم:
- تعداد اعضای $A$ برابر $m$ است.
- تعداد اعضای $B$ برابر $k$ است.
- $m - k = 5$
- تعداد اعضای $A \cup B = 11$ است.
برای یافتن $m$ و $k$، باید به رابطه زیر توجه کنیم:
$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|,$$
که بر اساس داده‌های سوال خواهیم داشت:
$$11 = m + k - |A \cap B|.$$
از طرفی $m - k = 5$، بنابراین:
$$m = k + 5.$$
حال این مقدار $m$ را جایگذاری می‌کنیم:
$$11 = (k + 5) + k - |A \cap B|.$$
این معادله به‌شکل زیر ساده‌سازی می‌شود:
$$11 = 2k + 5 - |A \cap B|.$$
جبراً:
$$2k = 11 - 5 + |A \cap B|,$$
$$2k = 6 + |A \cap B|.$$
حال $|A \cap B|$ باید به‌گونه‌ای باشد که $k$ یک عدد صحیح باشد. کمترین مقدار ممکن برای $|A \cap B| = 0$ است:
برای $|A \cap B| = 0$:
$$2k = 6,$$
پس $k = 3$.
بنابراین، $m = k + 5 = 3 + 5 = 8$.
در نتیجه، مقدار ممکن برای $m$ برابر ۸ است.
