برای اثبات این که نسبت ارتفاعهای همنظر در دو مثلث متشابه برابر با نسبت تشابه است، به صورت زیر عمل میکنیم:
فرض کنید دو مثلث \( \triangle ABC \) و \( \triangle DEF \) متشابه باشند. این به این معنی است که زوایای متناظر با هم برابر هستند و نسبت اضلاع متناظر برابر با ضریب تشابه \( k \) است.
بنابراین داریم:
\[
\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = k
\]
حالا ارتفاعهای همنظر مثلثها را در نظر بگیرید. فرض کنید ارتفاع \( h_{1} \) از راس \( A \) بر قاعده \( BC \) در مثلث \( \triangle ABC \) و ارتفاع \( h_{2} \) از راس \( D \) بر قاعده \( EF \) در مثلث \( \triangle DEF \) است.
از آنجا که دو مثلث متشابه هستند، هر جزء از هر دو مثلث نیز با ضریب \( k \) تغییر مقیاس مییابد. در نتیجه، ارتفاعهای همنظر نیز با همان ضریب تغییر میکنند. بنابراین:
\[
\frac{h_{1}}{h_{2}} = k
\]
به عبارت دیگر، نسبت ارتفاعهای همنظر برابر با نسبت تشابه است. با این توضیحات، ثابت کردیم که نسبت ارتفاعهای همنظر در دو مثلث متشابه برابر با نسبت تشابه است.
