برای حل معادله زیر:
\(x^2 + \frac{1}{x^2} + x + \frac{1}{x} = 5\)
ابتدا میتوان \(x + \frac{1}{x}\) را به مقدار دیگری تبدیل کرد و سپس بقیه معادله را حل کرد. فرض کنید:
\(y = x + \frac{1}{x}\)
در این صورت:
\(y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\)
برای سادهسازی:
\(x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2\)
حال، معادله ما به شکل زیر در میآید:
\(y^2 - 2 + y = 5\)
سادهسازی کنیم:
\(y^2 + y - 7 = 0\)
این یک معادله درجه دو است که میتوان با فرمول کلی حل معادلات درجه دو حلش کرد:
\(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
با توجه به اینکه \(a = 1, b = 1, c = -7\):
\(y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 28}}{2}\)
\(y = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}\)
این دو پاسخ ممکن برای \(y = x + \frac{1}{x}\) است.
بنابراین، مقدار \(x\) به دو مقادیر ممکن وابسته است و برای پیدا کردن \(x\) باید بیشتر حل شود یا در شرایط خاص از ماشین حساب استفاده کنیم. اگر \(\sqrt{29}\) عددی صحیح نیست، طبیعتا به راهحلهای عددی نیاز داریم.
