جوابش لطفا ، سریع خیلی نیاز دارم

برای پیدا کردن مشتق تابع \( f(x) = |x| \) در نقطه \( x = 0 \)، ابتدا باید بدانیم که مشتق تابع در نقطه‌ای وجود دارد یا خیر. تابع مقدار مطلق \( |x| \) در نمودار خود در نقطه \( x = 0 \) یک تغییر ناگهانی در شیب دارد. تابع \( f(x) = |x| \) در دو بخش تعریف می‌شود: - برای \( x \geq 0 \)، \( f(x) = x \) - برای \( x < 0 \)، \( f(x) = -x \) حالا می‌خواهیم مشتق این تابع را برای دو حالت محاسبه کنیم: 1. **برای \( x > 0 \):** \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1 \] 2. **برای \( x < 0 \):** \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x) = -1 \] حالا برای مشتق در نقطه \( x = 0 \)، باید از تعریف مشتق استفاده کنیم: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} \] در اینجا \( f(0) = |0| = 0 \)، پس: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} \] اگر \( h > 0 \)، \(|h| = h\) و بنابراین: \[ \frac{|h|}{h} = \frac{h}{h} = 1 \] اگر \( h < 0 \)، \(|h| = -h\) و بنابراین: \[ \frac{|h|}{h} = \frac{-h}{h} = -1 \] پس: - از طرف راست \( h \to 0^+ \)، \( f'(0) \to 1 \) - از طرف چپ \( h \to 0^- \)، \( f'(0) \to -1 \) از آنجایی که دو حد به هم برابر نیستند، پس مشتق در نقطه \( x = 0 \) وجود ندارد. نتیجه‌گیری: مشتق \( f(x) = |x| \) در نقطه \( x = 0 \) وجود ندارد.