برای حل تمام عبارات زیر، ابتدا هر کدام را به تفکیک بررسی میکنیم:
**الف)**
\[
\frac{\sqrt[4]{8x^3y^2}}{\sqrt{4x}}
\]
ابتدا باید ریشهها و توانها را با هم ترکیب کنیم:
\[
\sqrt[4]{8x^3y^2} = (8x^3y^2)^{\frac{1}{4}} = 8^{\frac{1}{4}} \cdot (x^3)^{\frac{1}{4}} \cdot (y^2)^{\frac{1}{4}}
\]
سپس:
\[
\sqrt{4x} = (4x)^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}
\]
حال موارد را با هم تلفیق کنیم:
\[
\frac{8^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}}
\]
\[
= \frac{8^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{2}}} \cdot x^{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}}
\]
\[
= 2^{-\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{1}{2}}
\]
**ب)**
\[
\sqrt[3]{4x y^2} \times \sqrt[3]{xy}
\]
ترکیب ریشهها:
\[
\sqrt[3]{4x y^2 \cdot xy} = \sqrt[3]{4x^2 y^3}
\]
حال این را برابر میکنیم با:
\[
4^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}} \cdot y
\]
**ج)**
\[
\sqrt[7]{27x^{3.5}} + \sqrt[3]{27x^3}
\]
ابتدا هر مورد جداگانه:
\[
\sqrt[7]{27x^{3.5}} = 27^{\frac{1}{7}} \cdot (x^{3.5})^{\frac{1}{7}} = 3^{\frac{3}{7}} \cdot x^{\frac{0.5}{1}}
\]
و:
\[
\sqrt[3]{27x^3} = 3x
\]
پس:
\[
3^{\frac{3}{7}} \cdot x^{\frac{0.5}{1}} + 3x
\]
این مجموع نهایی این بخش است.
