### سوال ۵: رسم نمودار تابع \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x + 1 \)
این تابع از نوع نمایی است. تابع نمایی به صورت کلی \( y = a^x \) است. اگر \( 0 < a < 1 \)، نمودار به سمت پایین و نزولی است.
برای تابع \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x + 1 \):
1. **جابجایی عمودی:** تابع \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x \) مطابق محور y را یک واحد به بالا منتقل می‌کند.
2. **نقطه‌های کلیدی:**
- برای \( x = 0 \)، مقدار \( y = 1 + 1 = 2 \).
- برای \( x = 1 \)، مقدار \( y = \frac{1}{3} + 1 \approx 1.33 \).
- برای \( x = -1 \)، مقدار \( y = 3 + 1 = 4 \).
3. **رفتار در بی‌نهایت‌ها:**
- برای \( x \to +\infty \)، \( y \to 1 \).
- برای \( x \to -\infty \)، \( y \to \infty \).
نمودار یک خط افقی مجازی (خط تقارن) در \( y = 1 \) دارد.
### سوال ۷: رسم نمودار تابع \( y = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \)
این تابع یک تبدیل افقی از تابع \( y = \cos(x) \) است که به اندازه \( \frac{\pi}{2} \) به سمت راست جابجا شده است.
1. **جابجایی افقی:** تابع اصلی \( y = \cos(x) \) به اندازه \( \frac{\pi}{2} \) به سمت راست جابجا شده است.
2. **رفتار کلی:** تابع کسینوسی بین 1 و -1 نوسان دارد و دوره تناوب آن \( 2\pi \) است. جابجایی فقط موقعیت آغازین دوره تناوب را تغییر می‌دهد.
3. **نقاط کلیدی:**
- برای \( x = \frac{\pi}{2} \)، مقدار \( y = \cos(0) = 1 \).
- برای \( x = \pi \)، مقدار \( y = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \).
- برای \( x = \frac{3\pi}{2} \)، مقدار \( y = \cos(\pi) = -1 \).
نمودار تابع شبیه به \( y = \sin(x) \) خواهد بود، زیرا جابجایی \( \frac{\pi}{2} \) معادل تبدیل کسینوس به سینوس است.
