به نظر میرسد سوال پرسیده شده شامل دو بخش است که در ارتباط با دنبالههای حسابی و هندسی هستند. بیایید به هر کدام بپردازیم:
### بخش اول: دنباله حسابی
سه جمله متوالی یک دنباله حسابی داده شده است:
\[
\frac{x}{2}, \; x - 11, \; و \; x + 2
\]
برای دنباله حسابی، اختلاف بین جملات باید برابر باشد، بنابراین:
\[
x - 11 - \frac{x}{2} = x + 2 - (x - 11)
\]
حل کنیم:
1. اختلاف اول:
\[
x - 11 - \frac{x}{2} = \frac{2x}{2} - \frac{x}{2} - \frac{22}{2} = \frac{x - 22}{2}
\]
2. اختلاف دوم:
\[
x + 2 - (x - 11) = x + 2 - x + 11 = 13
\]
حالا مساوی قرار میدهیم:
\[
\frac{x - 22}{2} = 13
\]
\[
x - 22 = 26
\]
\[
x = 48
\]
### بخش دوم: دنباله هندسی
سه جمله متوالی یک دنباله هندسی داده شده است:
\[
2^{a}, \; \sqrt{2}, \; و \; 4^{b}
\]
برای دنباله هندسی، نسبت بین جملات باید برابر باشد، بنابراین:
\[
\frac{\sqrt{2}}{2^a} = \frac{4^b}{\sqrt{2}}
\]
حل کنیم:
1. نسبت اول:
\[
\frac{\sqrt{2}}{2^a} = 2^{\frac{1}{2} - a}
\]
2. نسبت دوم:
\[
\frac{4^b}{\sqrt{2}} = \frac{(2^2)^b}{2^{\frac{1}{2}}} = \frac{2^{2b}}{2^{\frac{1}{2}}} = 2^{2b - \frac{1}{2}}
\]
برابر قرار میدهیم:
\[
2^{\frac{1}{2} - a} = 2^{2b - \frac{1}{2}}
\]
توانها را مساوی قرار میدهیم:
\[
\frac{1}{2} - a = 2b - \frac{1}{2}
\]
\[
\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = a + 2b
\]
\[
1 = a + 2b
\]
این معادلهای است که باید با مقادیر دیگری که ممکن است داده شود، حل کنیم که در اینجا اطلاعات بیشتری نداریم.
