برای حل مجموعههایی که در تصویر مشاهده میشود، به ترتیب زیر عمل میکنیم:
### مجموعه A:
\( A = \{ x \mid x \in \mathbb{N}, x^2 - 1 = 0 \} \)
معادله \( x^2 - 1 = 0 \) را حل میکنیم:
\[ x^2 = 1 \]
بنابراین، \( x = 1 \) یا \( x = -1 \) اما فقط \( x = 1 \) در مجموعه اعداد طبیعی (\(\mathbb{N}\)) قرار دارد.
پس:
\[ A = \{ 1 \} \]
### مجموعه B:
\( B = \{ x \times 3^y \mid x, y \in \mathbb{N}, x + y = 0 \} \)
از آنجا که \( x, y \in \mathbb{N} \) و \( x + y = 0 \)، فقط \( x = 0 \) و \( y = 0 \) ممکن است.
بنابراین:
\[ x \times 3^y = 0 \times 3^0 = 0 \]
پس:
\[ B = \{ 0 \} \]
### مجموعه D:
\( D = \{ xy - 3^x \mid x, y \in \mathbb{N}, x + y = r \} \)
چون نمیتوان مقدار خاصی برای \( r \) از این معادله تعیین کرد، به طور خاص نمیتوان این مجموعه را به صورت مشخصی نوشت. برای هر مقدار \( x \) و \( y \) که مجموعشان برابر \( r \) باشد، باید عبارت را محاسبه کرد.
### مجموعه E:
\( E = \{ x \mid x \in \mathbb{Z}, \sqrt{-x} \in \mathbb{N} \} \)
برای اینکه \( \sqrt{-x} \) عددی طبیعی باشد، باید \( -x \) یک مربع کامل باشد. بنابراین:
\[ -x = n^2 \]
بنابراین:
\[ x = -n^2 \]
چون \( n \) باید در مجموعه اعداد طبیعی باشد، \( x \) باید منفی یک مربع کامل باشد مانند: -1, -4, -9, ...
پس:
\[ E = \{ -n^2 \mid n \in \mathbb{N} \} \]
با این اطلاعات، تمامی مجموعهها تحلیل و تعیین شدند.