برای حل این سوال، ابتدا با توجه به داده‌های موجود شروع می‌کنیم.
ما دو عدد طبیعی را به نام‌های \( x \) و \( y \) در نظر می‌گیریم.
طبق متن سوال:
1. حاصل‌ضرب این دو عدد برابر با ۱۸ است:
\[
x \cdot y = 18
\]
2. مجموع معکوس این دو عدد برابر با \( \frac{1}{2} \) است:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}
\]
با استفاده از عبارت معکوس، این معادله را می‌توان به شکل زیر نوشت:
\[
\frac{y + x}{xy} = \frac{1}{2}
\]
حالا با جایگزینی \( xy \) با ۱۸ (از معادله اول) در معادله دوم، داریم:
\[
\frac{x + y}{18} = \frac{1}{2}
\]
با ضرب کردن در ۱۸، معادله به شکل زیر درمی‌آید:
\[
x + y = 9
\]
حالا ما دو معادله داریم:
1. \( x \cdot y = 18 \)
2. \( x + y = 9 \)
برای حل این دو معادله، بهتر است که از \( y \) به عنوان تابع \( x \) استفاده کنیم. از معادله دوم داریم:
\[
y = 9 - x
\]
حالا \( y \) را در معادله اول جایگزین می‌کنیم:
\[
x \cdot (9 - x) = 18
\]
با گسترش و ساده کردن معادله، داریم:
\[
9x - x^2 = 18
\]
\[
-x^2 + 9x - 18 = 0
\]
حالا می‌توانیم معادله را به شکل استاندارد بنویسیم:
\[
x^2 - 9x + 18 = 0
\]
این معادله کاربردی است و می‌توان آن را با استفاده از فرمول یا با فاکتورگیری حل کرد. برای فاکتورگیری، به دنبال دو عدد هستیم که حاصل‌ضربشان ۱۸ و مجموعشان ۹ باشد. این دو عدد ۶ و ۳ هستند.
بنابراین:
\[
(x - 6)(x - 3) = 0
\]
از اینجا دو جواب داریم:
\[
x = 6 \quad \text{یا} \quad x = 3
\]
حالا با استفاده از معادله \( y = 9 - x \) می‌توانیم \( y \) را پیدا کنیم:
- اگر \( x = 6 \):
\[
y = 9 - 6 = 3
\]
- اگر \( x = 3 \):
\[
y = 9 - 3 = 6
\]
بنابراین، دو عدد طبیعی که حاصل‌ضربشان ۱۸ و مجموع معکوسشان \( \frac{1}{2} \) است، ۳ و ۶ هستند.
پس جواب نهایی:
\[
\{3, 6\} \quad \text{یا} \quad \{6, 3\}
\]
