ج) فرض کنید $a$، $b$، $c$ و $d$ تعداد اضلاع چهار چندضلعی منتظم باشند. روشی برای بررسی وجود نقطه گرهی در $(a, b, c, d)$ به کار گیرید. د) با کدامیک از قسمت‌های زیر می‌توان یک نقطه گرهی ساخت؟ $(6, 5, 4, 3) \quad (6, 4, 3, 3) \quad (12, 6, 4, 3) \quad (10, 5, 5, 5)$ ه) چه ارتباطی بین راه‌حل سارا و دانا وجود دارد؟ و) چرا با هفت‌تا چندضلعی منتظم نمی‌توان نقطه گرهی ساخت؟

ب) سارا و دانا می‌خواستند بدانند با یک مثلث متساوی‌الاضلاع، یک هفت‌ضلعی منتظم و یک ۴۲ ضلعی منتظم، یعنی $(42, 7, 3)$ می‌توان نقطه گرهی ساخت یا نه. آن دو به صورت زیر عمل کردند. روش سارا برای بررسی وجود نقطه گرهی در $(42, 7, 3)$: کافی است در رأس مشترک از این سه چندضلعی منتظم، مجموع زاویه‌ها برابر $360^{\circ}$ باشد. $\frac{(3-2) \times 180^{\circ}}{3} + \frac{(7-2) \times 180^{\circ}}{7} + \frac{(42-2) \times 180^{\circ}}{42} = 360^{\circ}$ بنابراین این چندضلعی‌های منتظم می‌توانند نقطه گرهی بسازند. روش دانا برای بررسی وجود نقطه گرهی در $(42, 7, 3)$: کافی است درستی تساوی زیر را برای چندضلعی‌های منتظم داده شده بررسی کنیم: $2 - 2 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$