برای حل سوالات داده شده، به صورت زیر اقدام میکنیم:
### سوال ۱۱
#### حل دستگاه معادلات خطی:
معادلات داده شده:
\[
\begin{cases}
x - y = 2 \ 3x + 2y = 6
\end{cases}
\]
ابتدا معادله اول را برای \(x\) حل میکنیم:
\[ x = y + 2 \]
سپس این مقدار \(x\) را در معادله دوم قرار میدهیم:
\[ 3(y + 2) + 2y = 6 \]
\[ 3y + 6 + 2y = 6 \]
\[ 5y = 0 \]
\[ y = 0 \]
حالا \(y = 0\) را در معادله \(x = y + 2\) میگذاریم:
\[ x = 0 + 2 = 2 \]
پس جواب دستگاه معادلات \(x = 2\) و \(y = 0\) است.
### سوال ۱۲
#### الف) عبارت گویا:
عبارت دادهشده: \(\frac{x - 2}{x + 6}\)
این عبارت برای \(x = -6\) تعریف نشده است، زیرا مخرج صفر میشود.
#### ب) ساده کردن عبارت:
عبارت دادهشده: \(\frac{m^2 - 16}{m + 4}\)
صورت را به صورت یک مربع کامل مینویسیم:
\[ m^2 - 16 = (m - 4)(m + 4) \]
پس:
\[ \frac{(m - 4)(m + 4)}{m + 4} = m - 4 \quad (m \neq -4) \]
#### ج) جمع عبارت:
عبارت دادهشده: \(\frac{2}{x + 1} + \frac{5}{x + 2}\)
حد مشترک مخرجها را حساب میکنیم:
\[ (x + 1)(x + 2) \]
عبارت را تجزیه و ترکیب کرده و ساده میکنیم:
\[ \frac{2(x + 2) + 5(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} \]
\[ = \frac{2x + 4 + 5x + 5}{(x + 1)(x + 2)} \]
\[ = \frac{7x + 9}{(x + 1)(x + 2)} \]
### سوال ۱۳
#### انجام تقسیم:
عبارت دادهشده: \(\frac{6x^3 + 21x + 1}{x + 3}\)
برای تقسیم چندجملهای از روش تقسیم طولانی استفاده میکنیم.
### سوال ۱۴
#### الف) حجم حاصل از دوران ربع دایره:
اگر شعاع \(OA = 5\) سانتیمتر باشد، دوران ربع دایره حول شعاع، یک کره به وجود میآورد. حجم کره:
\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
اما چون ربع دایره است:
\[ V = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} \times \pi \times (5)^3 \]
با \(\pi = 3\)، حجم تخمین زده میشود.
#### ب) حجم مخروط:
شعاع قاعده \(2\) و ارتفاع \(6\) است.
فرمول حجم مخروط:
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
\[ V = \frac{1}{3} \times 3 \times (2)^2 \times 6 \]
این معادلات را محاسبه کنید تا حجم بهدست آید.
