بچه هایی که امتحان مطالعات دادن از اینجا ها سوال میاد؟

اعداد در ریاضیات می‌توانند الگوهای جالبی داشته باشند. این الگوها، شامل دنباله‌های حسابی، هندسی، فیبوناچی و اعداد مثلثی هستند. در این مطلب ما الگوها و دنباله‌های متداول عددی و نحوه تشکیل آنها را مورد بررسی قرار می‌دهیم. حاصل جمع یک دنباله یک سری را تشکیل می‌دهد که می‌تواند همگرا یا واگرا باشد دنباله‌های حسابی یک «دنباله (تصاعد) حسابی (عددی)» (Arithmetic Sequence) از جمع عددی ثابت در هر مرحله به‌دست می‌آید. این عدد ثابت می‌تواند از مجموعه اعداد حقیقی انتخاب شود. مثال ۱ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, … در این دنباله، اختلاف هر دو عدد متوالی برابر با ۳ است. در واقع هر عدد این دنباله به اندازه ۳ واحد از عدد قبلی خود بیشتر و به اندازه ۳ واحد از عدد بعدی خود کمتر است. این الگو با اضافه کردن 3، هر بار به آخرین عدد دنباله ادامه می‌یابد. این موضوع در شکل زیر به تصویر کشیده شده است.  مثال 2 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, … در این دنباله، اعداد نسبت به هم 5 عدد اختلاف دارند. این الگو با اضافه کردن عدد 5، هر بار به آخرین عدد دنباله ادامه می‌یابد. این الگو در شکل زیر به خوبی نشان داده شده است.  مقدار اضافه شده در هر مرحله را «قدر نسبت« (Common Difference) می‌نامند. این مقدار، قدر نسبت حسابی نیز نامیده می‌شود. برای مثال، قدر نسبت در مجموعه اعداد زیر چند است؟ 19, 27, 35, 43, … این بار پاسخ را شما بگویید! توجه کنید که قدر نسبت می‌تواند منفی باشد. مثال زیر به بیان این موضوع پرداخته است. مثال 3 25, 23, 21, 19, 17, 15, … همانطور که مشاهده می‌شود، در این مثال قدر نسبت برابر با 2- است. این الگو همچنان با تفریق 2 در هر مرحله از آخرین عدد دنباله ادامه می‌یابد، مانند:  برای تمرین، دنباله حسابی بنویسید که از 1 شروع شود و قدر نسبت آن برابر با قدر مطلق قدر نسبت مثال 3 باشد (توجه شود که قدر مطلق عدد 2- برابر 2 است). مشاهده می‌شود که دنباله حسابی شما، دقیقا معکوس مثال ۳ است. دنباله‌های هندسی یکی دیگر از دنباله‌های متداول عددی، دنباله هندسی است که آن را تصاعد هندسی نیز می‌نامند. یک دنباله هندسی با ضرب یک عدد در هر مرحله تشکیل می‌شود. این موضوع در مثال زیر به صورت کامل بررسی شده است. مثال 1 1, 3, 9, 27, 81, 243, … با دقت به دنباله بالا متوجه می‌شویم که این دنباله، یک ضریب 3 بین هر دو عدد متوالی خود دارد. در واقع اگر هر عدد این دنباله را در ۳ ضرب کنیم، عدد بعدی به‌دست می‌آید. این موضوع در شکل زیر به خوبی نشان داده شده است.  عددی که در هر مرحله ضرب می‌کنیم، قدر نسبت یا قدر نسبت هندسی نامیده می‌شود. در مثال قبلی، قدر نسبت هندسی برابر با 3 بود.  توجه شود که برای نوشتن یک تصاعد هندسی، می‌توانیم با هر عدد دلخواهی، دنباله را شروع کنیم: مثال 2 تصاعد هندسی بنویسید که قدر نسبت آن 3 است و با عدد ۲ شروع می‌شود. 2, 6, 18, 54, 162, 486, … قدر نسبت این دنباله، مانند مثال قبل، مقداری برابر با 3 دارد، اما این بار، این دنباله با 2 شروع شده است.  مثال 3 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, … این دنباله با عدد 1 شروع می‌شود و دارای قدر نسبت 2 است. هر مرحله از این دنباله، با ضرب مرحله قبل در عدد ۲ به‌دست می‌آید. این موضوع در شکل زیر نشان داده شده است.  توجه شود که قدر نسبت می‌تواند کمتر از 1 نیز باشد. مثال زیر به بررسی این موضوع می‌پردازد. مثال 4 10, 5, 2.5, 1.25, 0.625, 0.3125, … این دنباله با 10 شروع شده و قدر نسبت آن برابر با 0.5 است. این الگو ب