جواب بدید

لطفاً معرکه > اگر هر بار از تخم‌مرغ‌های داخل سبد دو‌تا برداریم، یک تخم‌مرغ باقی می‌ماند. > اگر هر بار سه‌تا، چهار‌تا، پنج‌تا یا شش‌تا تخم‌مرغ برداریم، آن‌گاه به‌ترتیب دو، سه، چهار و پنج تخم‌مرغ در سبد باقی می‌ماند. > اگر هر بار هفت‌تا از آن‌ها را برداریم، هیچ تخم‌مرغی در سبد باقی نخواهد ماند. > کمترین تعداد تخم‌مرغ‌هایی را که می‌توانستیم در سبد داشته باشیم بیابید. --- ### راه‌حل گام‌به‌گام: ما می‌خواهیم عددی /( N /) پیدا کنیم که: /[ /begin{cases} N /equiv 1 /pmod{2} // N /equiv 2 /pmod{3} // N /equiv 3 /pmod{4} // N /equiv 4 /pmod{5} // N /equiv 5 /pmod{6} // N /equiv 0 /pmod{7} /end{cases} /] --- ### مشاهده‌ی الگو: در پنج شرط اول داریم همیشه باقیمانده یکی کمتر از مقسوم‌علیه است: /[ N + 1 /equiv 0 /pmod{2, 3, 4, 5, 6} /] یعنی: /[ N + 1 = مضربی از /text{L.C.M}(2, 3, 4, 5, 6) /] کمترین مضرب مشترک (L.C.M) این اعداد برابر است با: /[ /text{L.C.M}(2,3,4,5,6) = 60 /] پس: /[ N + 1 = 60k /implies N = 60k - 1 /] --- حالا شرط آخر را هم بررسی می‌کنیم: /[ N /equiv 0 /pmod{7} /Rightarrow 60k - 1 /equiv 0 /pmod{7} /] یعنی: /[ 60k /equiv 1 /pmod{7} /] چون /( 60 /equiv 4 /pmod{7} /)، پس داریم: /[ 4k /equiv 1 /pmod{7} /] در این معادله، تنها /( k = 2 /) پاسخ درست است، زیرا: /[ 4 /times 2 = 8 /equiv 1 /pmod{7} /] --- بنابراین: /[ k = 2 /Longrightarrow N = 60 /times 2 - 1 = 119 /] --- ✅ **پاسخ نهایی:** > **تعداد تخم‌مرغ‌ها = ۱۱۹ عدد** 🥚 لطفاً معرکه