برای یافتن دو عدد که شمارنده‌های اولشان 2 و 7 باشد، ابتدا باید مفهوم شمارنده‌های اول ذکر شده را درک کنیم.
شمارنده‌های اول (یا فاکتورهای اول) به این معنا هستند که اگر یک عدد را به عوامل آن تجزیه کنیم، تنها این عوامل باید شامل 2 و 7 باشند. بنابراین، مثل اینکه دو عدد به صورت زیر می‌تواند نوشته شود:
1. عدد اول: 2
2. عدد دوم: 7
حالا ما باید از ترکیب این عواملی عددهایی بسازیم. هر عددی که فقط شامل این دو شمارنده باشد، می‌تواند به صورت
\[
N = 2^a \times 7^b
\]
تعریف شود، که در اینجا \( a \) و \( b \) می‌توانند هر عدد طبیعی (شامل 0) باشند.
از این رو، دو عدد ممکن می‌تواند به صورت زیر باشد:
1. اگر \( a=1 \) و \( b=0 \) (یعنی فقط شمارنده 2):
\[
N_1 = 2^1 \times 7^0 = 2
\]
2. اگر \( a=0 \) و \( b=1 \) (یعنی فقط شمارنده 7):
\[
N_2 = 2^0 \times 7^1 = 7
\]
اما ما می‌خواهیم حداقل یک عدد با هر دو شمارنده داشته باشیم. بنابراین می‌توانیم انتخاب کنیم:
3. اگر \( a=1 \) و \( b=1 \) (یعنی هر دو شمارنده):
\[
N_3 = 2^1 \times 7^1 = 2 \times 7 = 14
\]
در نهایت، دو عدد که شمارنده‌های اولشان 2 و 7 باشند عبارتند از:
1. 14
2. 2 (یا 7 هم می‌تواند باشد، ولی 14 عدد کامل تری است که هر دو شمارنده را ترکیب می‌کند)
پس به‌طور خلاصه، دو عدد مورد نظر شما می‌توانند 14 و 2 باشند.
