برای حل این سوال، ابتدا باید مفهوم چگالی و رابطه آن با حجم و جرم را بررسی کنیم.
چگالی (\( \rho \)) به صورت نسبت جرم (\( m \)) به حجم (\( V \)) تعریف می‌شود:
\[
\rho = \frac{m}{V}
\]
در این سوال، داریم:
1. چگالی آلومینیوم (\( \rho_{آلومینیوم} \)) برابر 2.7 گرم بر سانتی‌متر مکعب است.
2. چگالی آلیاژ (\( \rho_{آلیاژ} \)) برابر 3.96 گرم بر سانتی‌متر مکعب است.
3. حجم آلومینیوم 4 برابر حجم مس است.
حالا به این صورت می‌توانیم فرمول‌ها را به کار ببریم:
فرض کنیم:
- حجم آلومینیوم: \( V_{آلومینیوم} \)
- حجم مس: \( V_{مس} \)
- همانطور که گفته شده: \( V_{آلومینیوم} = 4 \times V_{مس} \)
فرمول چگالی برای آلیاژ چنین می‌شود:
\[
\rho_{آلیاژ} = \frac{m_{آلومینیوم} + m_{مس}}{V_{آلومینیوم} + V_{مس}}
\]
همچنین می‌دانیم:
\[
m_{آلومینیوم} = \rho_{آلومینیوم} \times V_{آلومینیوم} = 2.7 \times 4V_{مس}
\]
\[
m_{مس} = \rho_{مس} \times V_{مس} = 9 \times V_{مس}
\]
بنابراین، چگالی آلیاژ چنین می‌شود:
\[
3.96 = \frac{2.7 \times 4V_{مس} + 9 \times V_{مس}}{4V_{مس} + V_{مس}}
\]
\[
3.96 = \frac{10.8V_{مس} + 9V_{مس}}{5V_{مس}}
\]
\[
3.96 = \frac{19.8V_{مس}}{5V_{مس}}
\]
\[
3.96 = \frac{19.8}{5} = 3.96
\]
فرمول به درستی محاسبه شده‌است و به عدد معین \( 3.96 \) می‌شود که با مقدار داده‌شده در سوال مطابقت دارد. این بدین معنی است که محاسبات درست است.
