برای حل این مسئله، باید مقدار \( A = \{3^{-x} + 1 \,|\, x \in \mathbb{N}, -2 \leq x \leq 3\} \) را محاسبه کنیم.
مقدار تابع \( 3^{-x} + 1 \) را برای مقادیر مختلف \( x \) که در دامنه داریم، محاسبه میکنیم:
1. برای \( x = -2 \):
\[
3^{-(-2)} = 3^2 = 9 \Rightarrow 9 + 1 = 10
\]
2. برای \( x = -1 \):
\[
3^{-(-1)} = 3^1 = 3 \Rightarrow 3 + 1 = 4
\]
3. برای \( x = 0 \):
\[
3^{0} = 1 \Rightarrow 1 + 1 = 2
\]
4. برای \( x = 1 \):
\[
3^{-1} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}
\]
5. برای \( x = 2 \):
\[
3^{-2} = \frac{1}{9} \Rightarrow \frac{1}{9} + 1 = \frac{10}{9}
\]
6. برای \( x = 3 \):
\[
3^{-3} = \frac{1}{27} \Rightarrow \frac{1}{27} + 1 = \frac{28}{27}
\]
اکنون مقادیر محاسبهشده را به مجموعه تبدیل میکنیم:
\[
A = \left\{ 10, 4, 2, \frac{4}{3}, \frac{10}{9}, \frac{28}{27} \right\}
\]
با توجه به گزینهها، پاسخ صحیح گزینه (ب) است:
\[
گزینه ب: \{10, 4, 2, \frac{4}{3}, \frac{10}{9}, \frac{28}{27}\}
\]
