برای اینکه تابع \( f(x) \) در \( x = 4 \) پیوسته باشد، باید حدود چپ و راست در \( x = 4 \) برابر باشند و با مقدار تابع در آن نقطه برابر باشند.
تابع داده شده بهصورت زیر است:
\[
f(x) =
\begin{cases}
ax - 1 & x \geq 4 \\
\frac{x}{3} + 7 & x < 4
\end{cases}
\]
برای اینکه تابع در \( x = 4 \) پیوسته باشد:
1. **حد چپ:**
\[
\lim_{x \to 4^-} f(x) = \frac{4}{3} + 7 = \frac{4}{3} + \frac{21}{3} = \frac{25}{3}
\]
2. **حد راست:**
\[
\lim_{x \to 4^+} f(x) = 4a - 1
\]
برای پیوستگی این دو باید برابر باشند:
\[
4a - 1 = \frac{25}{3}
\]
حل معادله:
\[
4a = \frac{25}{3} + 1 = \frac{25}{3} + \frac{3}{3} = \frac{28}{3}
\]
\[
a = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}
\]
بنابراین مقدار \( a \) باید برابر با \( \frac{7}{3} \) باشد تا تابع در نقطه \( x = 4 \) پیوسته باشد.
