به سوالات به ترتیب پاسخ می‌دهیم: الف) هشت برابر \(2^7\) به صورت عددی توان‌دار چیست؟ اول، \(2^7 = 128\) است. حالا، هشت برابر این عدد را محاسبه می‌کنیم: \[ 8 \times 128 = 1024 \] \(1024\) خود به صورت عددی توان‌دار \(2^{10}\) است. ب) ثلث عدد \(9^7\) به صورت عددی توان‌دار چیست؟ ابتدا \(9^7\) را به صورت پایه‌ای دیگر می‌نویسیم: \(9 = 3^2\)، بنابراین \(9^7 = (3^2)^7 = 3^{14}\) ثلث این عدد برابر است با: \[ \frac{3^{14}}{3} = 3^{14-1} = 3^{13} \] پ) اگر \(2^a = 7\) باشد، \(3^{a+2}\) چه عددی است؟ از آن‌ جایی‌ که \(2^a = 7\)، ما به دنبال \(3^{a+2}\) هستیم: \[ 3^{a+2} = 3^a \times 3^2 \] \[ 3^{a+2} = 3^a \times 9 \] برای \(3^a\)، باید \(a\) را به دست بیاوریم. اما چون \(a\) به سادگی مشخص نیست، پاسخ نهایی عددی نیست و نیاز به محاسبه لگاریتمی دارد. بنابراین، اگر \(3^a\) را به عددی تبدیل کنید، می‌توانید این ضرب را انجام دهید. اما در حالت کلی، نتیجه معادل شکل بالا است.