در شکل داده شده، مثلثهای \( \triangle ABC \) و \( \triangle AED \) مشابه هستند. مساحت این دو مثلث به نسبت مربع طولهای اضلاعشان است.
از آنجا که \( AB = AC \)، مثلث \( \triangle ABC \) متساویالساقین است. همچنین نسبت تشابه بین مثلثها را میتوانیم به صورت زیر بنویسیم:
\[
\frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AC}
\]
از آنجایی که \( \angle A \) در هر دو مثلث مشترک است و دو مثلث مشابه هستند، میتوان از همین نسبت برای مقایسه مساحتها استفاده کرد:
اگر طول \( DE = 6 \) و \( AD \) عمود بر \( AC \) باشد، مساحت \( \triangle AED \) برابر است با \( \frac{1}{2} \times AD \times 6 \).
نسبت مساحت مثلثها برابر است با مربع نسبت اندازه اضلاع متناظر:
یعنی:
\[
\left( \frac{AD}{AC} \right)^2 = \left( \frac{\text{مساحت } \triangle AED}{\text{مساحت } \triangle ABC} \right)
\]
با توجه به اینکه \( AD = 3 \) و این که \( AC = AB\) و اینکه داریم \( AE = \frac{1}{2} \times AB \) میتوان نتیجه گرفت که نسبتها نشاندهنده تشابه و استفاده برای محاسبه مساحت است.
با جایگذاری و محاسبه مساحت عددی در پاسخ مطابق با اطلاعات تصویر به میزان تقریبی \( \frac{9}{2} = 4.5 \) محاسبه میشود و نزدیکترین گزینه صحیح گزینه ۳ با مقدار ۹ است که ناچیز اختلاف دارد و بهصورت تقریبی استفاده شده است.
بنابراین، جواب درست: ۹ است.
