برای حل مجموع زیر:
\[ \frac{5}{4 \times 10} + \frac{5}{10 \times 16} + \frac{5}{16 \times 22} + \cdots + \frac{5}{40 \times 46} \]
ابتدا توجه کنید که الگوی جملات این سری به صورت:
\[ \frac{5}{(6n-2) \times (6n+4)} \]
است، که به ازای \( n = 1, 2, 3, \ldots \) ادامه دارد.
همچنین، میتوان مقادیر مشترک در مخرج کسرها را استخراج و سادهسازی کرد.
## مرحله تجزیه کسر
مخرج هر کسر به صورت تقاضل مربعات قابل تجزیه است:
\[ (6n-2) \times (6n+4) = (6n)^2 - 2^2 = (6n-2)(6n+2) \]
پس میتوانیم کسرها را به صورت زیر بازنویسی کنیم:
\[ \frac{5}{6n-2} - \frac{5}{6n+4} \]
این یک سری تلسکوپی ایجاد میکند، که باعث میشود بخش بزرگی از جملات حذف شود.
## محاسبه حاصل
برای محاسبه نهایی سری، جملههای حذف شده به این شکل خواهد بود:
جملات به صورت زیر تلسکوپی محاسبه میشوند:
\[ (\frac{5}{4}-\frac{5}{10}) + (\frac{5}{10}-\frac{5}{16}) + \cdots + (\frac{5}{40}-\frac{5}{46}) \]
که همه جملههای میانی حذف میشوند و حاصل به صورت زیر بدست میآید:
\[ \frac{5}{4} - \frac{5}{46} = \frac{5}{4} - \frac{5}{46} = \frac{115}{92} - \frac{10}{92} = \frac{105}{92} = \frac{35}{184} \]
بنابراین، جواب صحیح گزینه (3) یعنی \(\frac{35}{184}\) است.
