برای حل سوالات مطرح شده، به توضیحات زیر توجه کنید:
1. **مساحت کل نیمکره:**
فرمول مساحت کل نیمکره شامل مساحت سطح نیمکره و قاعده دایرهای شکل آن است. فرمول مساحت کل نیمکره به صورت زیر است:
\[
A = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2
\]
برای شعاع \( r = 10 \) سانتیمتر:
\[
A = 3 \pi (10)^2 = 300\pi
\]
بنابراین، مساحت کل نیمکره تقریباً برابر با \(300\pi\) سانتیمتر مربع است.
2. **افزایش حجم کره با افزایش شعاع:**
حجم کره با فرمول زیر محاسبه میشود:
\[
V = \frac{4}{3} \pi r^3
\]
اگر شعاع \( r \) را 4 برابر کنیم، شعاع جدید \( 4r \) خواهد بود و حجم جدید:
\[
V' = \frac{4}{3} \pi (4r)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 64r^3 = 64V
\]
بنابراین، حجم کره جدید 64 برابر حجم اولیه میشود.
3. **حجم استوانه محاطی:**
طبق قضیه گاوس، حجم استوانهای که درون آن کره قرار میگیرد، با حجم کره برابر است و اشغال بیشتر ندارد. فرمول حجم استوانه:
\[
V_{\text{استوانه}} = \pi r^2 h
\]
که \( h = 2r \) است. بنابراین:
\[
V_{\text{استوانه}} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3
\]
با مقایسه با حجم کره:
\[
\frac{4}{3} \pi r^3 \Rightarrow \text{مورد خاص}
\]
4. **حجم مخروط:**
برای مخروط با شعاع قاعده \( r = 3 \) سانتیمتر و ارتفاع جانبی \( \sqrt{47} \):
ابتدا از رابطهی فیثاغورث، ارتفاع عمودی محاسبه میشود:
\[
h^2 + r^2 = l^2 \Rightarrow h^2 + 3^2 = (\sqrt{47})^2
\]
\[
h^2 + 9 = 47 \Rightarrow h^2 = 38 \Rightarrow h = \sqrt{38}
\]
سپس حجم مخروط با فرمول زیر محاسبه میشود:
\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]
\[
V = \frac{1}{3} \pi (3)^2 \sqrt{38} = 9\pi \sqrt{38} / 3 = 3\pi \sqrt{38}
\]
بنابراین، حجم مخروط برابر با \(3\pi \sqrt{38}\) سانتیمتر مکعب است.
