برای حل این سوال ابتدا به یاد میآوریم که در یک دنباله هندسی، هر جمله به شکل زیر تعریف میشود:
\( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \)
که در آن:
- \( a_n \) جمله nام است.
- \( a_1 \) جمله اول دنباله است.
- \( r \) قدر نسبت دنباله هندسی است.
- \( n \) شماره جمله است.
در این سوال گفته شده که جمله هفتم ( \( a_7 \) ) ۸ برابر جمله دهم ( \( a_{10} \) ) است. بنابراین، میتوانیم این را به صورت معادله زیر بنویسیم:
\[
a_7 = 8 \cdot a_{10}
\]
حالا جملات را با استفاده فرمول دنباله هندسی بیان میکنیم:
\[
a_7 = a_1 \cdot r^{7-1} = a_1 \cdot r^6
\]
\[
a_{10} = a_1 \cdot r^{10-1} = a_1 \cdot r^9
\]
اکنون معادله را بازنویسی میکنیم:
\[
a_1 \cdot r^6 = 8 \cdot (a_1 \cdot r^9)
\]
اگر \( a_1 \neq 0 \) باشد، میتوانیم \( a_1 \) را از هر دو طرف معادله تقسیم کنیم:
\[
r^6 = 8 \cdot r^9
\]
سپس از هر طرف معادله \( r^6 \) را تقسیم میکنیم (با فرض اینکه \( r \neq 0 \)):
\[
1 = 8 \cdot r^3
\]
حال برای پیدا کردن \( r^3 \) معادله را به صورت زیر reorganize میکنیم:
\[
r^3 = \frac{1}{8}
\]
برای پیدا کردن \( r \)، از ریشه سوم استفاده میکنیم:
\[
r = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}
\]
بنابراین، قدر نسبت \( r \) برابر با \(\frac{1}{2}\) است.
پاسخ نهایی:
قدر نسبت \( r \) برابر با \(\frac{1}{2}\) است.
