سوال ۵:
* الف) رابطه تابع A به B، با در نظر گرفتن
𝐴
=
{
2
,
3
}
A={2,3} و
𝐵
=
{
4
,
5
,
6
}
B={4,5,6}:
* اگر
𝑓
(
2
)
=
4
f(2)=4 و
𝑓
(
3
)
=
5
f(3)=5 باشد.
* این یک تابع است زیرا هر عنصر از دامنه A به طور منحصر به فرد به یک عنصر از هم دامنه B نگاشت شده است.
* ب) رابطه ای از
𝐴
2
A
2
به
𝐵
B که تابع نباشد:
* اگر
𝑓
(
2
)
=
4
f(2)=4 و
𝑓
(
2
)
=
5
f(2)=5 باشد.
* این یک تابع نیست زیرا عنصر 2 از دامنه A به دو عنصر مختلف در هم دامنه B نگاشت شده است.
سوال ۶:
* دامنه تابع:
𝑔
(
𝑥
)
=
2
𝑥
2
+
3
𝑥
+
2
g(x)=2x
2
+3x+2
* تابع
𝑔
(
𝑥
)
g(x) یک تابع درجه دوم است. دامنه توابع درجه دوم تمام اعداد حقیقی است.
*
𝐷
𝑔
=
𝑅
D
g
=R
سوال ۷:
* ضابطه تابع محیطی مستطیل:
* طول مستطیل:
𝑙
=
𝑥
+
3
l=x+3
* عرض مستطیل:
𝑤
=
𝑥
w=x
* محیط مستطیل:
𝑃
=
2
(
𝑙
+
𝑤
)
P=2(l+w)
*
𝑃
(
𝑥
)
=
2
(
(
𝑥
+
3
)
+
𝑥
)
P(x)=2((x+3)+x)
*
𝑃
(
𝑥
)
=
2
(
2
𝑥
+
3
)
P(x)=2(2x+3)
*
𝑃
(
𝑥
)
=
4
𝑥
+
6
P(x)=4x+6
سوال ۸:
* معادله تابع خطی:
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑎
𝑥
+
𝑏
f(x)=ax+b
* تابع از مبدأ مختصات
(
0
,
0
)
(0,0) میگذرد، پس
𝑓
(
0
)
=
0
f(0)=0.
*
𝑎
(
0
)
+
𝑏
=
0
⟹
𝑏
=
0
a(0)+b=0⟹b=0.
* تابع از نقطه
(
2
,
3
)
(2,3) میگذرد، پس
𝑓
(
2
)
=
3
f(2)=3.
*
𝑎
(
2
)
+
0
=
3
⟹
2
𝑎
=
3
⟹
𝑎
=
3
2
a(2)+0=3⟹2a=3⟹a=
2
3
.
* معادله تابع:
𝑓
(
𝑥
)
=
3
2
𝑥
f(x)=
2
3
x
سوال ۹:
* نمودار سهمی:
𝑦
=
𝑥
2
+
4
𝑥
+
7
y=x
2
+4x+7
* برای رسم نمودار، میتوان چند نقطه کلیدی را پیدا کرد:
* رأس سهمی:
𝑥
𝑣
=
−
𝑏
2
𝑎
=
−
4
2
(
1
)
=
−
2
x
v
=−
2a
b
=−
2(1)
4
=−2
*
𝑦
𝑣
=
(
−
2
)
2
+
4
(
−
2
)
+
7
=
4
−
8
+
7
=
3
y
v
=(−2)
2
+4(−2)+7=4−8+7=3. رأس سهمی در
(
−
2
,
3
)
(−2,3) قرار دارد.
* مقطع y: وقتی
𝑥
=
0
x=0،
𝑦
=
0
2
+
4
(
0
)
+
7
=
7
y=0
2
+4(0)+7=7. نقطه
(
0
,
7
)
(0,7).
* مقطع x: برای یافتن مقطع x،
𝑦
=
0
y=0 قرار میدهیم:
𝑥
2
+
4
𝑥
+
7
=
0
x
2
+4x+7=0. دلتا
=
𝑏
2
−
4
𝑎
𝑐
=
4
2
−
4
(
1
)
(
7
)
=
16
−
28
=
−
12
=b
2
−4ac=4
2
−4(1)(7)=16−28=−12. چون دلتا منفی است، سهمی محور x ها را قطع نمیکند.
* با داشتن رأس و نقطه قطع y، میتوان سهمی را رسم کرد.
سوال ۱۰:
* الف) معادله سود (Profit) کارخانه:
* درآمد روزانه:
𝑅
(
𝑥
)
=
300
𝑥
R(x)=300x
* هزینه روزانه:
𝐶
(
𝑥
)
=
𝑥
2
+
200
𝑥
+
30
C(x)=x
2
+200x+30
* سود روزانه:
𝑃
(
𝑥
)
=
𝑅
(
𝑥
)
−
𝐶
(
𝑥
)
P(x)=R(x)−C(x)
*
𝑃
(
𝑥
)
=
300
𝑥
−
(
𝑥
2
+
200
𝑥
+
30
)
P(x)=300x−(x
2
+200x+30)
*
𝑃
(
𝑥
)
=
300
𝑥
−
𝑥
2
−
200
𝑥
−
30
P(x)=300x−x
2
−200x−30
*
𝑃
(
𝑥
)
=
−
𝑥
2
+
100
𝑥
−
30
P(x)=−x
2
+100x−30
* ب) تعداد لامپ برای بیشترین سود:
* تابع سود
𝑃
(
𝑥
)
=
−
𝑥
2
+
100
𝑥
−
30
P(x)=−x
2
+100x−30 یک سهمی رو به پایین است. بیشترین سود در رأس سهمی رخ میدهد.
*
𝑥
𝑣
=
−
𝑏
2
𝑎
=
−
100
2
(
−
1
)
=
−
100
−
2
=
50
x
v
=−
2a
b
=−
2(−1)
100
=−
−2
100
=50.
* برای دستیابی به بیشترین سود، کارخانه باید ۵۰ لامپ تولید کند.
* پ) بیشترین سود:
* بیشترین سود با جایگذاری
𝑥
=
50
x=50 در تابع سود به دست میآید:
*
𝑃
(
50
)
=
−
(
50
)
2
+
100
(
50
)
−
30
P(50)=−(50)
2
+100(50)−30
*
𝑃
(
50
)
=
−
2500
+
5000
−
30
P(50)=−2500+5000−30
*
𝑃
(
50
)
=
2500
−
30
P(50)=2500−30
*
𝑃
(
50
)
=
2470
P(50)=2470
* بیشترین سود روزانه ۲۴۷۰ واحد پولی است.
