حجم یک چهار ضلعی

برای حل این سوال، ابتدا حجم یک چهار وجهی منتظم با طول یال \( a = 12 \) را محاسبه می‌کنیم. فرمول حجم یک چهار وجهی منتظم به شکل زیر است: \[ V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3 \] که در اینجا \( a = 12 \) است: \[ V = \frac{\sqrt{2}}{12} (12)^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 1728 = 144\sqrt{2} \] حالا حجم نیم‌کره با شعاع \( r = 3 \) را محاسبه می‌کنیم. فرمول حجم نیم‌کره به شکل زیر است: \[ V = \frac{2}{3} \pi r^3 \] که با توجه به \( \pi = 3 \) داریم: \[ V = \frac{2}{3} \times 3 \times (3)^3 = 54 \] حالا نسبت حجم چهار وجهی منتظم \( 144\sqrt{2} \) به حجم نیم‌کره \( 54 \) را محاسبه می‌کنیم: \[ \frac{144\sqrt{2}}{54} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \] بنابراین گزینه صحیح، گزینه (4) \( \frac{8\sqrt{2}}{3} \) است.