سوال 5: برای پیدا کردن تصویر مقداری و برداری بردار \(\mathbf{a}\) روی بردار \(\mathbf{b}\)، از فرمول زیر استفاده میکنیم:
تصویر \(\mathbf{a}\) روی \(\mathbf{b}\) برابر است با:
\[
\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \right) \mathbf{b}
\]
ابتدا ضرب داخلی \(\mathbf{a}\) و \(\mathbf{b}\) را محاسبه میکنیم:
\(\mathbf{a} = 4\mathbf{i} + 3\mathbf{k} = (4, 0, 3)\)
\(\mathbf{b} = \langle 2, 3, -1 \rangle\)
محاسبه ضرب داخلی:
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (4)(2) + (0)(3) + (3)(-1) = 8 + 0 - 3 = 5
\]
محاسبه \(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}\):
\[
\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = (2)^2 + (3)^2 + (-1)^2 = 4 + 9 + 1 = 14
\]
قرار دادن در فرمول تصویر:
\[
\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \left( \frac{5}{14} \right) \langle 2, 3, -1 \rangle = \left\langle \frac{10}{14}, \frac{15}{14}, \frac{-5}{14} \right\rangle = \left\langle \frac{5}{7}, \frac{15}{14}, \frac{-5}{14} \right\rangle
\]
سوال 6: برای پیدا کردن دامنه تابع \( f(x, y) = \frac{3}{x^2 - y} \)، باید مشخص کنیم که مخرج صفر نشود:
\(x^2 - y \neq 0\)
تابع تعریف میشود برای:
\[
y \neq x^2
\]
بنابراین دامنه تابع شامل تمامی مقادیر \((x, y)\) است بهجز نقاطی که \(y = x^2\).
