برای حل این سوال، ابتدا باید مجموع عبارتهای صورت و مخرج کسر را محاسبه کنیم.
صورت کسر:
\(1 + 6 + 11 + 16 + \cdots + 56\)
این یک دنبالهی حسابی است که اختلاف بین هر دو جمله متوالی آن 5 است. اولین جمله 1 و آخرین جمله 56 است.
تعداد جملات دنباله را محاسبه میکنیم:
\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]
\[ 56 = 1 + (n-1) \cdot 5 \]
\[ 55 = (n-1) \cdot 5 \]
\[ n-1 = 11 \]
\[ n = 12 \]
حالا مجموع جملات دنباله را حساب میکنیم:
\[ S = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \]
\[ S = \frac{12}{2} \times (1 + 56) \]
\[ S = 6 \times 57 = 342 \]
مخرج کسر:
\((-1) + (-1) + (-2) + \cdots + (-51)\)
این هم یک دنبالهی حسابی است که اختلاف آن 1 است. اولین جمله \(-1\) و آخرین جمله \(-51\) است.
تعداد جملات:
\[ -51 = -1 + (n-1) \cdot 1 \]
\[ -51 = -1 + n-1 \]
\[ n = 51 \]
مجموع جملات دنباله:
\[ S = \frac{51}{2} \times ((-1) + (-51)) \]
\[ S = \frac{51}{2} \times (-52) \]
\[ S = 51 \times (-26) = -1326 \]
حالا مقدار کسر را محاسبه میکنیم:
\[ A = \frac{342}{-1326} \]
این کسر را سادهتر میکنیم. میتوانیم صورت و مخرج کسر را بر 6 تقسیم کنیم:
\[ \frac{57}{-221} = -\frac{57}{221} \]
بنابراین مقدار نهایی \( A \) برابر با \(-\frac{57}{221}\) است.
